Câu hỏi:
2 năm trước
Cho số nguyên dương n thỏa mãn C12n+C32n+⋯+C2n−12n=512. Tính tổng S=22C2n−32C3n+⋯+(−1)n.n2.Cnn.
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: b
Ta có (1+x)2n=C02n+C12n.x+C22n.x2+C32n.x3+⋯+C2n−12n.x2n−1+C2n2n.x2n(1).
Thay x=1 vào (1) ta có: 22n=C02n+C12n+C22n+C32n+⋯+C2n−12n+C2n2n(2).
Thay x=−1 vào (1) ta có: 0=C02n−C12n+C22n−C32n+⋯−C2n−12n+C2n2n(3).
Trừ từng vế của (2) và (3) ta có:
22n=2.(C12n+C32n+⋯+C2n−12n)⇔C12n+C32n+⋯+C2n−12n=22n−1.
Nên C12n+C32n+⋯+C2n−12n=512⇔22n−1=29⇔2n−1=9⇔n=5.
Hay S=22C25−32C35+42C45−52.C55=5.
Hướng dẫn giải:
- Khai triển tổng (1+x)2n và cho x các giá trị đặc biệt để tìm tổng C12n+C32n+⋯+C2n−12n suy ra n
- Thay n vào tổng S tính S