Câu hỏi:
2 năm trước

Cho số nguyên dương \(n\) thỏa mãn \(C_{2n}^1 + C_{2n}^3 +  \cdots  + C_{2n}^{2n - 1} = 512\). Tính tổng \(S = {2^2}C_n^2 - {3^2}C_n^3 +  \cdots  + {\left( { - 1} \right)^n}.{n^2}.C_n^n\).

Trả lời bởi giáo viên

Đáp án đúng: b

Ta có \({\left( {1 + x} \right)^{2n}} = C_{2n}^0 + C_{2n}^1.x + C_{2n}^2.{x^2} + C_{2n}^3.{x^3} +  \cdots  + C_{2n}^{2n - 1}.{x^{2n - 1}} + C_{2n}^{2n}.{x^{2n}}\)\(\left( 1 \right)\).

Thay \(x = 1\) vào \(\left( 1 \right)\) ta có: \({2^{2n}} = C_{2n}^0 + C_{2n}^1 + C_{2n}^2 + C_{2n}^3 +  \cdots  + C_{2n}^{2n - 1} + C_{2n}^{2n}\)\(\left( 2 \right)\).

Thay \(x =  - 1\) vào \(\left( 1 \right)\) ta có: \(0 = C_{2n}^0 - C_{2n}^1 + C_{2n}^2 - C_{2n}^3 +  \cdots  - C_{2n}^{2n - 1} + C_{2n}^{2n}\)\(\left( 3 \right)\).

Trừ từng vế của \(\left( 2 \right)\) và \(\left( 3 \right)\) ta có:

\({2^{2n}} = 2.\left( {C_{2n}^1 + C_{2n}^3 +  \cdots  + C_{2n}^{2n - 1}} \right)\)\( \Leftrightarrow C_{2n}^1 + C_{2n}^3 +  \cdots  + C_{2n}^{2n - 1} = {2^{2n - 1}}\).

Nên \(C_{2n}^1 + C_{2n}^3 +  \cdots  + C_{2n}^{2n - 1} = 512\)\( \Leftrightarrow {2^{2n - 1}} = {2^9}\)\( \Leftrightarrow 2n - 1 = 9\)\( \Leftrightarrow n = 5\).

Hay \(S = {2^2}C_5^2 - {3^2}C_5^3 + {4^2}C_5^4 - {5^2}.C_5^5 = 5\).

Hướng dẫn giải:

- Khai triển tổng \({\left( {1 + x} \right)^{2n}}\) và cho \(x\) các giá trị đặc biệt để tìm tổng \(C_{2n}^1 + C_{2n}^3 +  \cdots  + C_{2n}^{2n - 1}\) suy ra \(n\)

- Thay \(n\) vào tổng \(S\) tính \(S\)

Câu hỏi khác