Cho tập hợp $A = \left\{ {1;2;3;4...;100} \right\}$. Gọi $S$ là tập hợp gồm tất cả các tập con của \(A\), mỗi tập con này gồm 3 phần tử của \(A\) và có tổng bằng \(91.\) Chọn ngẫu nhiên một phần tử của $S.$ Xác suất chọn được phần tử có $3$ số lập thành cấp số nhân bằng?

Giả sử tập con bất kì \(\left\{ {a,b,c} \right\} \in S\)$ \Rightarrow 1 \le a,b,c \le 100$ ;\(a,b,c\) phân biệt.

$a + b + c = 91.$

Số bộ \(a,b,c\) là \(C_{91 - 1}^{3 - 1}\)

Tuy nhiên trong các bộ trên vẫn chứa các bộ có 2 số giống nhau, số bộ có 2 số giống nhau là \(3.45 = 135\) (bộ). ( Không có bộ nào có 3 số giống nhau vì $a + b + c = 91$)

Vậy \(n\left( \Omega  \right) = \left( {C_{90}^2 - 3.45} \right):3! = 645\).

Gọi $A$ là biến cố: ”$a,b,c$ lập thành cấp số nhân”

Gọi \(q\) là công bội của cấp số nhân theo bài ra ta có \(q > 0\)

\(a + aq + a{q^2} = 91\)\( \Leftrightarrow a\left( {1 + q + {q^2}} \right) =91 \)

\( \Leftrightarrow {q^2} + q + 1 - \dfrac{{91}}{a} = 0\)

Thử \(a = 1,2,..,91\) và bấm máy tính tìm \(q\) ta được các trường hợp sau:

+) \(a = 1,q = 9\) nên bộ ba số là \(1;9;81\).

+) \(a = 7,q = 3\) nên bộ ba số là \(7;21;63\).

+) \(a = 13,q = 2\) nên bộ ba số là \(13;26;52\).

+) \(a = 25,q = \dfrac{6}{5}\) nên bộ ba số là \(25;30;36\).

Vậy có bốn bộ số thỏa mãn.

\(P\left( A \right) = \dfrac{4}{{645}}\).