Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho Parabol \(\left( P \right):y = {x^2}\) và đường thẳng \(\left( d \right):y =  - \dfrac{2}{3}\left( {m + 1} \right)x + \dfrac{1}{3}\) (\(m\) là tham số).  Trong trường hợp \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ giao điểm là \({x_1},{x_2}\). Đặt \(f\left( x \right) = {x^3} + \left( {m + 1} \right){x^2} - x\) khi đó

Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( d \right)\)  và \(\left( P \right)\) ta có

\({x^2} = \dfrac{{ - 2\left( {m + 1} \right)}}{3} + \dfrac{1}{3} \) \(\Leftrightarrow 3{x^2} + 2\left( {m + 1} \right)x - 1 = 10\,\,\,\left( 1 \right)\)

Ta thấy phương trình \(\left( 1 \right)\) có hệ số \(a\) và \(c\) trái dấu nên luôn có hai nghiệm phân biệt mọi \(m\) nên \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt với mọi \(m\).

Theo hệ thức Viet: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - 2\left( {m + 1} \right)}}{3}\\{x_1}{x_2} = \dfrac{{ - 1}}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m + 1 = \dfrac{{ - 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}}{2}\\3{x_1}{x_2} =  - 1\end{array} \right.\)

Vì \(f\left( x \right) = {x^3} + \left( {m + 1} \right){x^2} - x\) 

nên ta có: \(f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) \)\(= x_1^3 - x_2^3 + \left( {m + 1} \right)\left( {x_1^2 - x_2^2} \right) - {x_1} + {x_2}\)

\( \Rightarrow 2\left( {f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right)} \right) \)\(= 2x_1^3 - 2x_2^3 - 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left( {x_1^2 - x_2^2} \right) - 2{x_1} + 2{x_2}\)  ( vì  \(m + 1 = \dfrac{{ - 3}}{2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right)\)  )

\( =  - x_1^3 + x_2^3 + 3{x_1}{x_2}\left( {{x_2} - {x_1}} \right) - 2\left( {{x_1} - {x_2}} \right) \)

\(=  - x_1^3 + x_2^3 + \left( {{x_1} - {x_2}} \right) - 2\left( {{x_1} - {x_2}} \right)\)

\( =  - \left( {x_1^3 - x_2^3 - 3{x_1}{x_2}\left( {{x_1} - {x_2}} \right)} \right) \)\(= \left[ {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {x_1^2 + x_2^2 - 2{x_1}{x_2}} \right)} \right] \)\(=  - {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^3}\).

Nên \(f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) = \dfrac{{ - 1}}{2}{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^3}\)