Câu hỏi:
2 năm trước

Trong mặt phẳng $Oxy$ cho ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 9$ và đường thẳng $d:3x - 4y + m = 0$. Tìm $m$ để trên $d$ có duy nhất điểm $P$ sao cho từ $P$ vẽ $2$ tiếp tuyến $PA, PB$ của đường tròn và tam giác $PAB $ là tam giác đều.

Trả lời bởi giáo viên

Đáp án đúng: b

$(C)$ có tâm $I(1;-2)$ và bán kính $R = 3.$

Ta có: $\Delta PAB$  đều

$\begin{array}{l}
\Rightarrow \widehat {APB} = {60^0} \Rightarrow \widehat {API} = \frac{1}{2}\widehat {APB} = {30^0}\\
\Rightarrow IP = \frac{{IA}}{{\sin \widehat {API}}} = \frac{3}{{\sin {{30}^0}}} = 6
\end{array}$

Suy ra $P$ thuộc đường tròn $(C')$ tâm $I,$ bán kính $R ' = 6.$

Trên $d$ có duy nhất một điểm $P$ thỏa mãn yêu cầu bài toán khi và chỉ khi $d$ tiếp xúc với $(C')$ tại $P$

$ \Leftrightarrow d\left( {I,d} \right) = R'$

$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \frac{{\left| {3.1 - 4.\left( { - 2} \right) + m} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = 6 \Leftrightarrow \frac{{\left| {m + 11} \right|}}{5} = 6\\
\Leftrightarrow \left| {m + 11} \right| = 30 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m + 11 = 30\\
m + 11 = - 30
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = 19\\
m = - 41
\end{array} \right.
\end{array}$

Hướng dẫn giải:

- Từ điều kiện \(\Delta PAB\) đều suy ra tập hợp các điểm \(P\) thỏa mãn.

- Trên \(d\) có duy nhất một điểm \(P\) thỏa mãn bài toán nên \(P\) chính là điểm chung duy nhất của đường thẳng và đường tròn vừa tìm được ở bước trên.

Câu hỏi khác