Trong mặt phẳng Oxy, cho Parabol \(\left( P \right):y = \dfrac{1}{4}{x^2}\) và đường thẳng \(\left( d \right):x - 2y + 12 = 0\)

Gọi giao điểm của \(\left( d \right)\) và \(\left( P \right)\) là \(A,B.\)  Tìm tọa độ điểm C nằm trên \(\left( P \right)\) sao cho tam giác $ABC$ vuông tại C.

Ta có \(\left( d \right):y = \dfrac{1}{2}x + 6\).

Phương trình hoành độ giao điểm \(\dfrac{1}{4}{x^2} = \dfrac{1}{2}x + 6 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 6 \Rightarrow y = 9\\x =  - 4 \Rightarrow y = 4\end{array} \right.\).

Vậy 2 giao điểm \(A\left( {6;9} \right),\,\,B\left( { - 4;4} \right)\).

Gọi \(C\left( {c\,\,;\,\,\dfrac{1}{{\,4}}{c^2}} \right) \in \left( P \right)\) \( (c \ne 6,\,\,c \ne  - 4)\)  là điểm cần tìm.

Ta có \(A{B^2} = 125\) ;  \(A{C^2} \)\(= {\left( {c - 6} \right)^2} + {\left( {\dfrac{1}{4}{c^2} - 9} \right)^2} \)\(= \dfrac{1}{{16}}{c^4} - \dfrac{7}{2}{c^2} - 12c + 117\) ;

\(B{C^2} = {\left( {c + 4} \right)^2} + {\left( {\dfrac{1}{4}{c^2} - 4} \right)^2} \)\(= \dfrac{1}{{16}}{c^4} - {c^2} + 8c + 32\) .

Tam giác \(ABC\) vuông tại C khi và chỉ khi \(A{B^2} = A{C^2} + B{C^2}\)

\( \Leftrightarrow 125 = \dfrac{1}{{16}}{c^4} - \dfrac{7}{2}{c^2} - 12c + 117 + \dfrac{1}{{16}}{c^4} - {c^2} + 8c + 32\)\( \Leftrightarrow \dfrac{1}{8}{c^4} - \dfrac{9}{2}{c^2} - 4c + 24 = 0 \)\(\Leftrightarrow \dfrac{1}{8}{c^4} - \dfrac{1}{4}{c^3} + \dfrac{1}{4}{c^3} - \dfrac{1}{2}{c^2} - 4{c^2} + 8c - 12c + 24 = 0\)\( \Leftrightarrow \dfrac{1}{8}{c^3}\left( {c - 2} \right) + \dfrac{1}{4}{c^2}\left( {c - 2} \right) - 4\left( {c - 2} \right) - 12\left( {c - 2} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {c - 2} \right)\left( {\dfrac{1}{8}{c^3} + \dfrac{1}{4}{c^2} - 4c - 12} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c - 2 = 0\\\dfrac{1}{8}{c^3} + \dfrac{1}{4}{c^2} - 4c - 12 = 0\end{array} \right.\)

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
c = 2\\
\dfrac{1}{8}\left( {c - 6} \right)\left( {{c^2} + 8c + 16} \right) = 0
\end{array} \right.$

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = 2\,\,\,\,\,\,\left( n \right)\\c =  - 4\,\,\,\left( l \right)\\c = 6\,\,\,\,\,\,\left( l \right)\end{array} \right.\) .

Vậy \(C\left( {2;1} \right)\) là điểm thỏa đề bài.