Câu hỏi:
2 năm trước
Trong mặt phẳng \(Oxy\) cho đường thẳng \(\left( d \right):\,y = kx + \dfrac{1}{2}\) và parabol \(\left( P \right):y = \dfrac{1}{2}{x^2}.\) Giả sử đường thẳng \(\left( d \right)\) cắt parabol \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt \(A\) và \(B\). Tọa độ trung điểm \(M\) của đoạn thẳng \(AB\) luôn thỏa mãn phương trình nào dưới đây?
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: a
Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( d \right)\) và \(\left( P \right):\,\,\,\dfrac{1}{2}{x^2} = kx + \dfrac{1}{2}\)
\( \Leftrightarrow {x^2} - 2kx - 1 = 0\)\(\left( * \right)\) . Nhận thấy \(a = 1;c = - 1\) trái dấu nhau nên phương trình \(\left( * \right)\) luôn có hai nghiệm phân biệt hay đường thẳng \(\left( d \right)\) cắt parabol \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt \(A\) và \(B\) với mọi \(k.\)
Gọi \(A\left( {{x_A};{y_A}} \right);B\left( {{x_B};{y_B}} \right)\) thì \({x_A};{x_B}\) là hai nghiệm của phương trình \(\left( * \right)\) và \({y_A} = k{x_A} + \dfrac{1}{2};{y_B} = k{x_B} + \dfrac{1}{2}\)
Tọa độ trung điểm \(M\) của đoạn \(AB\) là \(\left\{ \begin{array}{l}{x_M} = \dfrac{{{x_A} + {x_B}}}{2}\\{y_M} = \dfrac{{{y_A} + {y_B}}}{2} = \dfrac{{k\left( {{x_A} + {x_B}} \right) + 1}}{2}\end{array} \right.\)
Theo hệ thức Vi-ét ta có:\({x_A} + {x_B} = 2k\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}{x_M} = \dfrac{{{x_A} + {x_B}}}{2}\\{y_M} = \dfrac{{{y_A} + {y_B}}}{2} = \dfrac{{k\left( {{x_A} + {x_B}} \right) + 1}}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_M} = k\\{y_M} = {k^2} + \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow {y_M} = x_M^2 + \dfrac{1}{2}\)
Vậy tọa độ điểm \(M\) luôn thỏa mãn phương trình \(y = {x^2} + \dfrac{1}{2}.\)
Hướng dẫn giải:
+ Tìm điều kiện của \(m\) để \(\left( d \right)\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt.
+ Sử dụng hệ thức Vi-et và công thức tọa độ trung điểm \(M\) của \(AB:\) \(\left\{ \begin{array}{l}{x_M} = \dfrac{{{x_A} + {x_B}}}{2}\\{y_M} = \dfrac{{{y_A} + {y_B}}}{2}\end{array} \right.\) để biến đổi .
Câu hỏi khác
- Bài tập hàm số bậc hai một ẩn và đồ thị hàm số y=ax^2 toán 9 có lời giải
- Bài tập hệ thức vi-ét và ứng dụng toán 9 có lời giải
- Bài tập phương trình bậc hai một ẩn và công thức nghiệm toán 9 có lời giải
- Bài tập công thức nghiệm thu gọn toán 9 có lời giải
- Bài tập phương trình quy về phương trình bậc hai toán 9 có lời giải
