Câu hỏi:
2 năm trước
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz gọi \((P)\) là mặt phẳng đi qua \(M(1;4;9)\), cắt các tia Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho biểu thức \(OA + OB + OC\) đạt giá trị nhỏ nhất. Mặt phẳng \((P)\) đi qua điểm nào dưới đây?
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: b
Bước 1: Giả sử \(A(a;0;0) \in Ox,B(0;b;0) \in Oy,C(0;0;c) \in Oz\) và \((a,b,c > 0)\). Lập phương trình mặt phẳng (P) theo a, b, c.
Giả sử \(A(a;0;0) \in Ox,B(0;b;0) \in Oy,C(0;0;c) \in Oz\) và \((a,b,c > 0)\).
Ta có \(OA + OB + OC = a + b + c\).
Phương trình mặt phẳng \((P)\) có dạng: \(\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} + \dfrac{z}{c} = 1\).
Bước 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của a+b+c
Ta có \(M(1;4;9) \in (P) \Rightarrow \dfrac{1}{a} + \dfrac{4}{b} + \dfrac{9}{c} = 1\). Do đó
\(\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{4}{b} + \dfrac{9}{c}} \right)(a + b + c)\)\( = \left( {{{\left( {\sqrt {\dfrac{1}{a}} } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt {\dfrac{4}{b}} } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt {\dfrac{9}{c}} } \right)}^2}} \right)\left( {{{(\sqrt a )}^2} + {{(\sqrt b )}^2} + {{(\sqrt c )}^2}} \right)\)\( \ge {(1 + 2 + 3)^2}\)
\( \Rightarrow a + b + c \ge {(1 + 2 + 3)^2}\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\dfrac{1}{a} + \dfrac{4}{b} + \dfrac{9}{c} = 1}\\{\dfrac{1}{a} = \dfrac{2}{b} = \dfrac{3}{c}}\\{a + b + c = {{(1 + 2 + 3)}^2}}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 6}\\{b = 12}\\{c = 18}\end{array}} \right.\)
Bước 3: Tìm điểm (P) đi qua.
\( \Rightarrow (P):\dfrac{x}{6} + \dfrac{y}{{12}} + \dfrac{z}{{18}} = 1\)
Vậy mặt phẳng \((P)\) đi qua điểm \((6;0;0)\).
Hướng dẫn giải:
Bước 1: Giả sử \(A(a;0;0) \in Ox,B(0;b;0) \in Oy,C(0;0;c) \in Oz\) và \((a,b,c > 0)\). Lập phương trình mặt phẳng (P) theo a, b, c.
Bước 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của a+b+c
Bước 3: Tìm điểm (P) đi qua.
