Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho các điểm $A\left( {0;0; - \,2} \right),\,\,B\left( {4;0;0} \right).$ Mặt cầu $\left( S \right)$ có bán kính nhỏ nhất, đi qua $O,\,\,A,\,\,B$ có tâm là

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho \(M\left( {3;2;1} \right)\). Mặt phẳng (P) đi qua M và cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho M là trục tâm tam giác ABC. Phương trình mặt phẳng (P) là:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm \(A\left( {1;0;0} \right),B\left( {0;2;0} \right),C\left( {0;0;3} \right).\) Gọi M là điểm thay đổi trên mặt phẳng (ABC) và N là điểm trên tia OM sao cho OM.ON = 1. Biết rằng N luôn thuộc mặt cầu cố định. Viết phương trình mặt cầu đó?

Trong không gian \(Oxyz,\) mặt phẳng \(\left( P \right):\;2x + 6y + z - 3 = 0\) cắt trục \(Oz\) và đường thẳng \(d:\;\dfrac{{x - 5}}{1} = \dfrac{y}{2} = \dfrac{{z - 6}}{{ - 1}}\) lần lượt tại \(A\) và \(B\). Phương trình mặt cầu đường kính \(AB\) là:

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( { - 1;3; - 2} \right);\,\,B\left( { - 3;7; - 18} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,2x - y + z + 1 = 0\). Điểm \(M\left( {a;b;c} \right)\) thuộc (P) sao cho mặt phẳng (ABM) vuông góc với (P) và \(M{A^2} + M{B^2} = 246\). Tính \(S = a + b + c\).

Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có \(A\left( {2;3;3} \right)\), phương trình đường trung tuyến kẻ từ B là \(\dfrac{{x - 3}}{{ - 1}} = \dfrac{{y - 3}}{2} = \dfrac{{z - 2}}{{ - 1}}\), phương trình đường phân giác trong của góc C là \(\dfrac{{x - 2}}{2} = \dfrac{{y - 4}}{{ - 1}} = \dfrac{{z - 2}}{{ - 1}}\). Đường thẳng AB có vector chỉ phương là :

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(d:\,\,\dfrac{{x + 2}}{4} = \dfrac{{y - 1}}{{ - 4}} = \dfrac{{z + 2}}{3}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,2x - y + 2z + 1 = 0\). Đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(E\left( { - 2;1; - 2} \right)\), song song với (P) đồng thời tạo với d góc bé nhất. Biết rằng \(\Delta \) có một vector chỉ phương \(\overrightarrow u \left( {m;n;1} \right)\). Tính \(T = {m^2} - {n^2}\)

Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành, AB = 2a, BC = a, ABC = 1200 . Cạnh bên \(SD = a\sqrt 3 \) và SD vuông góc với mặt phẳng đáy (tham khảo hình vẽ bên). Tính sin của góc tạo bởi SB và mặt phẳng (SAC).