Câu hỏi:
2 năm trước
Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành, AB = 2a, BC = a, ABC = 1200 . Cạnh bên \(SD = a\sqrt 3 \) và SD vuông góc với mặt phẳng đáy (tham khảo hình vẽ bên). Tính sin của góc tạo bởi SB và mặt phẳng (SAC).
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: c
Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ ta có :
\(\begin{array}{l}D\left( {0;0;0} \right);\,\,S\left( {0;0;a\sqrt 3 } \right);\,\,C\left( {0;2a;0} \right);\,\,A\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2};\dfrac{{ - a}}{2};0} \right);\,\,B\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2};\dfrac{{3a}}{2};0} \right)\\ \Rightarrow \overrightarrow {SA} = \left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2};\dfrac{{ - a}}{2}; - a\sqrt 3 } \right);\,\,\overrightarrow {AC} = \left( { - \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2};\dfrac{{5a}}{2};0} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {SA} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\dfrac{{5\sqrt 3 {a^2}}}{2};\dfrac{{3{a^2}}}{2};\sqrt 3 {a^2}} \right) = {\overrightarrow n _{\left( {SAC} \right)}}\\\overrightarrow {SB} = \left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2};\dfrac{{3a}}{2}; - a\sqrt 3 } \right)\\ \Rightarrow \left| {\cos \left( {{{\overrightarrow n }_{\left( {SAC} \right)}};\overrightarrow {SB} } \right)} \right| = \dfrac{{\left| {{{\overrightarrow n }_{\left( {SAC} \right)}}.\overrightarrow {SB} } \right|}}{{\left| {{{\overrightarrow n }_{\left( {SAC} \right)}}} \right|.\left| {\overrightarrow {SB} } \right|}} = \dfrac{3}{{\sqrt {144} }} = \dfrac{1}{4} = \sin \left( {SB;\left( {SAC} \right)} \right)\end{array}\)
Hướng dẫn giải:
Sử dụng phương pháp gắn hệ trục tọa độ.
