Câu hỏi:
2 năm trước
Trong không gian \(Oxyz,\) mặt phẳng \(\left( P \right):\;2x + 6y + z - 3 = 0\) cắt trục \(Oz\) và đường thẳng \(d:\;\dfrac{{x - 5}}{1} = \dfrac{y}{2} = \dfrac{{z - 6}}{{ - 1}}\) lần lượt tại \(A\) và \(B\). Phương trình mặt cầu đường kính \(AB\) là:
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: b
Phương trình trục \(Oz:\;\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 0\\z = t\end{array} \right..\;\;\;A \in Oz \Rightarrow A\left( {0;\;0;\;t} \right).\)
Có \(\left( P \right) \cap Oz = \left\{ A \right\} \Rightarrow 2.0 + 6.0 + t - 3 = 0 \Leftrightarrow t = 3 \Rightarrow A\left( {0;\;0;\;3} \right).\)
\(d:\;\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + t'\\y = 2t'\\z = 6 - t'\end{array} \right..\;\;B \in d \Rightarrow B\left( {5 + t';2t';6 - t'} \right).\)
Có $\left( P \right) \cap d = \left\{ B \right\} \Rightarrow 2\left( {5 + t'} \right) + 6.2t' + 6 - t' - 3 = 0 \Leftrightarrow t' = - 1 \Rightarrow B\left( {4; - 2;7} \right).$
Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB \Rightarrow I\left( {2;\; - 1;\;5} \right).\)
Có \(\overrightarrow {AB} = \left( {4; - 2;\;4} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {36} = 6 \Rightarrow IA = R = \dfrac{{AB}}{2} = 3.\)
Vậy đường tròn đường kính AB là: \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 5} \right)^2} = 9.\)
Hướng dẫn giải:
+) Điểm A thuộc \(Oz \Rightarrow A\left( {0;\;0;\;0} \right).\)
+) Điểm B là giao điểm của đường thẳng d và (P) thì tọa độ điểm B thỏa mãn phương trình của d và (P).
+) Phương trình mặt cầu tâm \(I\left( {a;\;b;\;c} \right)\) và bán kính \(R\) có phương trình là: \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}.\)
