Trong không gian $Oxyz,$ mặt phẳng $\left( P \right):\;2x + 6y + z - 3 = 0$ cắt trục $Oz$ và đường thẳng $d:\;\dfrac{{x - 5}}{1} = \dfrac{y}{2} = \dfrac{{z - 6}}{{ - 1}}$ lần lượt tại $A$ và $B$. Phương trình mặt cầu đường kính $AB$ là:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho $M\left( {3;2;1} \right)$. Mặt phẳng (P) đi qua M và cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho M là trục tâm tam giác ABC. Phương trình mặt phẳng (P) là:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm $A\left( {1;0;0} \right),B\left( {0;2;0} \right),C\left( {0;0;3} \right).$ Gọi M là điểm thay đổi trên mặt phẳng (ABC) và N là điểm trên tia OM sao cho OM.ON = 1. Biết rằng N luôn thuộc mặt cầu cố định. Viết phương trình mặt cầu đó?

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $A\left( { - 1;3; - 2} \right);\,\,B\left( { - 3;7; - 18} \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):\,\,2x - y + z + 1 = 0$. Điểm $M\left( {a;b;c} \right)$ thuộc (P) sao cho mặt phẳng (ABM) vuông góc với (P) và $M{A^2} + M{B^2} = 246$. Tính $S = a + b + c$.

Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có $A\left( {2;3;3} \right)$, phương trình đường trung tuyến kẻ từ B là $\dfrac{{x - 3}}{{ - 1}} = \dfrac{{y - 3}}{2} = \dfrac{{z - 2}}{{ - 1}}$, phương trình đường phân giác trong của góc C là $\dfrac{{x - 2}}{2} = \dfrac{{y - 4}}{{ - 1}} = \dfrac{{z - 2}}{{ - 1}}$. Đường thẳng AB có vector chỉ phương là :

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d:\,\,\dfrac{{x + 2}}{4} = \dfrac{{y - 1}}{{ - 4}} = \dfrac{{z + 2}}{3}$ và mặt phẳng $\left( P \right):\,\,2x - y + 2z + 1 = 0$. Đường thẳng $\Delta$ đi qua $E\left( { - 2;1; - 2} \right)$, song song với (P) đồng thời tạo với d góc bé nhất. Biết rằng $\Delta$ có một vector chỉ phương $\overrightarrow u \left( {m;n;1} \right)$. Tính $T = {m^2} - {n^2}$

Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành, AB = 2a, BC = a, ABC = 1200 . Cạnh bên $SD = a\sqrt 3$ và SD vuông góc với mặt phẳng đáy (tham khảo hình vẽ bên). Tính sin của góc tạo bởi SB và mặt phẳng (SAC).