Câu hỏi:
2 năm trước
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(d:\,\,\dfrac{{x + 2}}{4} = \dfrac{{y - 1}}{{ - 4}} = \dfrac{{z + 2}}{3}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,2x - y + 2z + 1 = 0\). Đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(E\left( { - 2;1; - 2} \right)\), song song với (P) đồng thời tạo với d góc bé nhất. Biết rằng \(\Delta \) có một vector chỉ phương \(\overrightarrow u \left( {m;n;1} \right)\). Tính \(T = {m^2} - {n^2}\)
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: d
Ta có : \({\overrightarrow n _{\left( P \right)}} = \left( {2; - 1;2} \right)\)
Do \(\Delta //\left( P \right) \Rightarrow {\overrightarrow u _\Delta } \bot {\overrightarrow n _{\left( P \right)}} \Rightarrow 2m - n + 2 = 0 \Leftrightarrow n = 2m + 2\)
Ta có \(\cos \left( {\Delta ;d} \right) = \left| {\cos \left( {{{\overrightarrow u }_d};{{\overrightarrow u }_\Delta }} \right)} \right| = \dfrac{{\left| {4m - 4n + 3} \right|}}{{\sqrt {41} .\sqrt {{m^2} + {n^2} + 1} }} = \dfrac{{\left| {4m - 4\left( {2m + 2} \right) + 3} \right|}}{{\sqrt {41} .\sqrt {{m^2} + {{\left( {2m + 2} \right)}^2} + 1} }} = \dfrac{{\left| { - 4m - 5} \right|}}{{\sqrt {41} .\sqrt {5{m^2} + 8m + 5} }}\)
Để góc giữa \(\Delta \) và d là nhỏ nhất thì \(\cos \left( {{{\overrightarrow u }_d};{{\overrightarrow u }_\Delta }} \right)\,\max \)
\( \Rightarrow f\left( m \right) = \dfrac{{\left| { - 4m - 5} \right|}}{{\sqrt {5{m^2} + 8m + 5} }}\,\,\,\max \Rightarrow g\left( m \right) = {f^2}\left( m \right) = \dfrac{{16{m^2} + 40m + 25}}{{5{m^2} + 8m + 5}}\,\,\max \)
Có \(g'\left( x \right) = \dfrac{{\left( {32m + 40} \right)\left( {5{m^2} + 8m + 5} \right) - \left( {16{m^2} + 40m + 25} \right)\left( {10m + 8} \right)}}{{{{\left( {5{m^2} + 8m + 5} \right)}^2}}} = \dfrac{{ - 72{m^2} - 90m}}{{{{\left( {5{m^2} + 8m + 5} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = - \dfrac{5}{4}\end{array} \right.\)
Lập BBT ta thấy \(\max g\left( m \right) = 5 \Leftrightarrow m = 0 \Rightarrow n = 2\)
Vậy \(T = {m^2} - {n^2} = - 4\).
Hướng dẫn giải:
+) \(\Delta //\left( P \right) \Rightarrow {\overrightarrow u _\Delta } \bot {\overrightarrow n _{\left( P \right)}}\).
+) Sử dụng công thức $\cos \left( {\Delta ;d} \right) = \left| {\cos \left( {{{\overrightarrow u }_d};{{\overrightarrow u }_\Delta }} \right)} \right| = \dfrac{{\left| {{{\overrightarrow u }_d}.{{\overrightarrow u }_\Delta }} \right|}}{{\left| {{{\overrightarrow u }_d}} \right|.\left| {{{\overrightarrow u }_\Delta }} \right|}}$.
+) Để góc giữa \(\Delta \) và d là nhỏ nhất thì \(\cos \left( {{{\overrightarrow u }_d};{{\overrightarrow u }_\Delta }} \right)\,\max \).
