Câu hỏi:
2 năm trước
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d:x+24=y−1−4=z+23 và mặt phẳng (P):2x−y+2z+1=0. Đường thẳng Δ đi qua E(−2;1;−2), song song với (P) đồng thời tạo với d góc bé nhất. Biết rằng Δ có một vector chỉ phương →u(m;n;1). Tính T=m2−n2
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: d
Ta có : →n(P)=(2;−1;2)
Do Δ//(P)⇒→uΔ⊥→n(P)⇒2m−n+2=0⇔n=2m+2
Ta có cos(Δ;d)=|cos(→ud;→uΔ)|=|4m−4n+3|√41.√m2+n2+1=|4m−4(2m+2)+3|√41.√m2+(2m+2)2+1=|−4m−5|√41.√5m2+8m+5
Để góc giữa Δ và d là nhỏ nhất thì cos(→ud;→uΔ)max
\Rightarrow f\left( m \right) = \dfrac{{\left| { - 4m - 5} \right|}}{{\sqrt {5{m^2} + 8m + 5} }}\,\,\,\max \Rightarrow g\left( m \right) = {f^2}\left( m \right) = \dfrac{{16{m^2} + 40m + 25}}{{5{m^2} + 8m + 5}}\,\,\max
Có g'\left( x \right) = \dfrac{{\left( {32m + 40} \right)\left( {5{m^2} + 8m + 5} \right) - \left( {16{m^2} + 40m + 25} \right)\left( {10m + 8} \right)}}{{{{\left( {5{m^2} + 8m + 5} \right)}^2}}} = \dfrac{{ - 72{m^2} - 90m}}{{{{\left( {5{m^2} + 8m + 5} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = - \dfrac{5}{4}\end{array} \right.
Lập BBT ta thấy \max g\left( m \right) = 5 \Leftrightarrow m = 0 \Rightarrow n = 2
Vậy T = {m^2} - {n^2} = - 4.
Hướng dẫn giải:
+) \Delta //\left( P \right) \Rightarrow {\overrightarrow u _\Delta } \bot {\overrightarrow n _{\left( P \right)}}.
+) Sử dụng công thức \cos \left( {\Delta ;d} \right) = \left| {\cos \left( {{{\overrightarrow u }_d};{{\overrightarrow u }_\Delta }} \right)} \right| = \dfrac{{\left| {{{\overrightarrow u }_d}.{{\overrightarrow u }_\Delta }} \right|}}{{\left| {{{\overrightarrow u }_d}} \right|.\left| {{{\overrightarrow u }_\Delta }} \right|}}.
+) Để góc giữa \Delta và d là nhỏ nhất thì \cos \left( {{{\overrightarrow u }_d};{{\overrightarrow u }_\Delta }} \right)\,\max .
