Câu hỏi:
1 năm trước
Trong không gian \(Oxyz\), gọi \(M'\) là điểm đối xứng của điểm \(M\left( { - 1;0;3} \right)\) qua đường thẳng \(d:\dfrac{{x + 1}}{2} = \dfrac{{y - 2}}{3} = \dfrac{{z - 3}}{1}\). Tính khoảng cách từ điểm \(M'\) đến mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\).
Điền số nguyên hoặc phân số dạng a/b
Đáp án:
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án:
Đáp án:
Đường thẳng \(d\) có vectơ chỉ phương \({\vec u_d} = \left( {2;3;1} \right)\).
Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng đi qua điểm \(M\left( { - 1;0;3} \right)\) và vuông góc với \(d\).
Khi đó mặt phẳng \(\left( P \right)\) nhận vectơ \({\vec u_d} = \left( {2;3;1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.
\( \Rightarrow \) Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\): \(2\left( {x + 1} \right) + 3\left( {y - 0} \right) + 1\left( {z - 3} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow 2x + 3y + z - 1 = 0\).
Phương trình tham số của \(d\): \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 2t\\y = 2 + 3t\\z = 3 + t\end{array} \right.\)
Gọi \(H\) là giao điểm của đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\).
Ta có \(H \in d\). Suy ra tọa độ \(H\left( { - 1 + 2t;2 + 3t;3 + t} \right)\).
Lại có \(H \in \left( P \right)\). Suy ra \(2\left( { - 1 + 2t} \right) + 3\left( {2 + 3t} \right) + \left( {3 + t} \right) - 1 = 0\)
\( \Leftrightarrow 14t + 6 = 0\)
\( \Leftrightarrow t = - \dfrac{3}{7}\).
Khi đó tọa độ \(H\left( { - \dfrac{{13}}{7};\dfrac{5}{7};\dfrac{{18}}{7}} \right)\).
Vì \(M'\) là điểm đối xứng của \(M\) qua \(d\) nên \(H\) là trung điểm của \(MM'\).
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_H} = \dfrac{{{x_M} + {x_{M'}}}}{2}\\{y_H} = \dfrac{{{y_M} + {y_{M'}}}}{2}\\{z_H} = \dfrac{{{z_M} + {z_{M'}}}}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - \dfrac{{13}}{7} = \dfrac{{ - 1 + {x_{M'}}}}{2}\\\dfrac{5}{7} = \dfrac{{0 + {y_{M'}}}}{2}\\\dfrac{{18}}{7} = \dfrac{{3 + {z_{M'}}}}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{M'}} = - \dfrac{{19}}{7}\\{y_{M'}} = \dfrac{{10}}{7}\\{z_{M'}} = \dfrac{{15}}{7}\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \) Tọa độ \(M'\left( { - \dfrac{{19}}{7};\dfrac{{10}}{7};\dfrac{{15}}{7}} \right)\).
Trục \(\left( {Oxy} \right)\): \(z = 0\).
Khoảng cách từ điểm \(M'\) đến mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) là: \(d\left( {M',\left( {Oxy} \right)} \right) = \dfrac{{\left| {\dfrac{{15}}{7}} \right|}}{{\sqrt {{1^2}} }} = \dfrac{{15}}{7}\).
Vậy khoảng cách từ điểm \(M'\) đến mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) bằng \(\dfrac{{15}}{7}\).
Hướng dẫn giải:
Bước 1: Viết phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(M\left( { - 1;0;3} \right)\) và vuông góc với đường thẳng \(d\).
Bước 2: Tìm tọa độ \(H\) là giao điểm của đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\). Khi đó \(H\) là trung điểm \(MM'\).
Bước 3: Tìm tọa độ điểm \(M'\).
Bước 4: Tính khoảng cách từ điểm \(M'\) đến mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\).
