Trong không gian Oxyz, cho các điểm A, B, C (không trùng O) lần lượt thay đổi trên các trục Ox, Oy, Oz và luôn thỏa mãn điều kiện : tỉ số giữa diện tích của tam giác ABC và thể tích khối OABC bằng $\dfrac{3}{2}$. Biết rằng mặt phẳng (ABC) luôn tiếp xúc với một mặt cầu cố định, bán kính của mặt cầu đó bằng :

$3$

$2$

$4$

$1$

Xem đáp án

69 lượt xem

Tổng hợp câu hay và khó chương 7 phần 3 - MÔN TOÁN - Lớp 12. Thi ngay

Trả lời bởi giáo viên

Đáp án đúng: b

Kẻ $OH \bot AB\,\,\left( {H \in AB} \right);\,\,OK \bot Ch\,\,\left( {K \in CH} \right)$ ta có

$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}AB \bot OH\\AB \bot OC\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {OHC} \right) \Rightarrow AB \bot OK\\\left\{ \begin{array}{l}OK \bot AB\\OK \bot CH\end{array} \right. \Rightarrow OK \bot \left( {ABC} \right)\end{array}$

Ta sẽ chứng minh OK không đổi, khi đó mặt phẳng (ABC) luôn tiếp xúc với mặt cầu tâm O bán kính OK.

Gọi $A\left( {a;0;0} \right);\,\,B\left( {0;b;0} \right);\,\,C\left( {0;0;c} \right)$ ta có ${V_{ABC}} = \dfrac{1}{6}abc$.

$\begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = \left( { - a;b;0} \right);\,\,\overrightarrow {AC} = \left( { - a;0;c} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {bc;ac;ab} \right) \Rightarrow {S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}\sqrt {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}} \\ \Rightarrow \dfrac{{{S_{ABC}}}}{{{V_{OABC}}}} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}\sqrt {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}} }}{{\dfrac{1}{6}abc}} = \dfrac{3}{2}\\ \Leftrightarrow \sqrt {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}} = \dfrac{1}{2}abc\\ \Leftrightarrow {a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2} = \dfrac{1}{4}{a^2}{b^2}{c^2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{b^2}}} + \dfrac{1}{{{c^2}}} = \dfrac{1}{4}\end{array}$

Xét tam giác vuông OCK có $\dfrac{1}{{O{K^2}}} = \dfrac{1}{{O{C^2}}} + \dfrac{1}{{O{H^2}}} = \dfrac{1}{{O{C^2}}} + \dfrac{1}{{O{A^2}}} + \dfrac{1}{{O{B^2}}} = \dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{y^2}}} + \dfrac{1}{{{z^2}}} = \dfrac{1}{4} \Rightarrow OK = 2$

Vậy mặt phẳng (ABC) luôn tiếp xúc với mặt cầu tâm O bán kính 2.

Hướng dẫn giải:

Chứng minh khoảng cách từ O đến (ABC) không đổi.

Câu hỏi khác

Câu 1:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho $M\left( {3;2;1} \right)$. Mặt phẳng (P) đi qua M và cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho M là trục tâm tam giác ABC. Phương trình mặt phẳng (P) là:

$x + y + z - 6 = 0$

$\dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{2} + \dfrac{z}{1} = 0$

$3x + 2y + z - 14 = 0$

$\dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{2} + \dfrac{z}{1} = 1$

Xem đáp án

86 lượt xem
Xem đáp án
2 năm trước

Câu 2:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm $A\left( {1;0;0} \right),B\left( {0;2;0} \right),C\left( {0;0;3} \right).$ Gọi M là điểm thay đổi trên mặt phẳng (ABC) và N là điểm trên tia OM sao cho OM.ON = 1. Biết rằng N luôn thuộc mặt cầu cố định. Viết phương trình mặt cầu đó?

${\left( {x - \dfrac{{36}}{{49}}} \right)^2} + {\left( {y - \dfrac{{18}}{{49}}} \right)^2} + {\left( {z - \dfrac{{12}}{{49}}} \right)^2} = \dfrac{{25}}{{49}}$

${\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {y - \dfrac{1}{4}} \right)^2} + {\left( {z - \dfrac{1}{6}} \right)^2} = \dfrac{{49}}{{144}}$

${x^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 4$

${x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 4$