Tổng của ba số hạng liên tiếp lập thành cấp số cộng trong dãy số sau \(C_{23}^0;C_{23}^1; \ldots ;C_{23}^{13}\) có giá trị là

Giả sử 3 số \(C_{23}^n;C_{23}^{n + 1};C_{23}^{n + 2}\) theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi \(2C_{23}^{n + 1} = C_{23}^n + C_{23}^{n + 2}\).

\(2C_{23}^{n + 1} + C_{23}^{n + 1} + C_{23}^{n + 1} = C_{23}^n + C_{23}^{n + 2} + C_{23}^{n + 1} + C_{23}^{n + 1}\)\( \Leftrightarrow 4C_{23}^{n + 1} = \left( {C_{23}^n + C_{23}^{n + 1}} \right) + \left( {C_{23}^{n + 1} + C_{23}^{n + 2}} \right)\)

\( \Leftrightarrow 4C_{23}^{n + 1} = C_{24}^{n + 1} + C_{24}^{n + 2}\)$ \Leftrightarrow 4C_{23}^{n + 1} = C_{25}^{n + 2}$

$ \Leftrightarrow \dfrac{{4.23!}}{{\left( {n + 1} \right)!\left( {22 - n} \right)!}} = \dfrac{{25!}}{{\left( {n + 2} \right)!\left( {23 - n} \right)!}}$.

$ \Rightarrow \left( {n + 2} \right)\left( {23 - n} \right) = 150 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 8{\rm{ }}\left( {tm} \right)\\n = 13{\rm{ }}\left( l \right)\end{array} \right.$.

Vậy \(C_{23}^8 + C_{23}^9 + C_{23}^{10} = 2451570\).