Câu hỏi:
2 năm trước
Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số nhân: \({x^3} - 7{x^2} + 2\left( {{m^2} + 6m} \right)x - 8 = 0.\)
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: d
+ Điều kiện cần: Giả sử phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2},{x_3}\) lập thành một cấp số nhân.
Theo định lý Vi-ét, ta có \({x_1}{x_2}{x_3} = 8.\)
Theo tính chất của cấp số nhân, ta có \({x_1}{x_3} = x_2^2\). Suy ra ta có \(x_2^3 = 8 \Leftrightarrow {x_2} = 2.\)
+ Điều kiện đủ: Với \(m = 1\) và \(m = 7\) thì \({m^2} + 6m = 7\) nên ta có phương trình
\({x^3} - 7{x^2} + 14x - 8 = 0.\)
Giải phương trình này, ta được các nghiệm là \(1,2,4.\) Hiển nhiên ba nghiệm này lập thành một cấp số nhân với công bôị \(q = 2.\)
Vậy, \(m = 1\) và \(m = - 7\) là các giá trị cần tìm. Do đó phương án \(D.\)
Hướng dẫn giải:
- Sử dụng Vi – et cho phương trình bậc ba \({x_1}{x_2}{x_3} = - \dfrac{d}{a}\) và tính chất CSN tìm nghiệm ở giữa.
- Thay nghiệm này vào phương trình tìm \(m\) và thử lại.
Giải thích thêm:
Ta có thể chỉ ra nghiệm \({x_2}\) bằng cách khác:
Theo định lý Vi-ét thì \({x_1} + {x_2} + {x_3} = 7;{x_1}{x_2} + {x_2}{x_3} + {x_3}{x_1} = 2\left( {{m^2} + 6m} \right);{x_1}{x_2}{x_3} = 8.\)
Theo tính chất của cấp số nhân thì \({x_1}{x_3} = x_2^2.\) Suy ra \(2\left( {{m^2} + 6m} \right) = {x_1}{x_2} + {x_2}{x_3} + {x_3}{x_1} = {x_2}\left( {{x_1} + {x_2} + {x_3}} \right).\)
Thay \({x_1} + {x_2} + {x_3} = 7;\) được \({x_2} = \dfrac{{2\left( {{m^2} + 6m} \right)}}{7}.\) Thay vào \({x_1}{x_2}{x_3} = 8\) ta được \(\dfrac{{8{{\left( {{m^2} + 6m} \right)}^3}}}{{{7^3}}} = 8\)
\( \Leftrightarrow {m^2} + 6m - 7 = 0.\)
