Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang có cạnh đáy $AB$ và $CD$ . Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh $AD$  và $BC$  và $G$  là trọng tâm tam giác $SAB$. Tìm điều kiện của $AB$  và $CD$  để thiết diện của $\left( {IJG} \right)$ và hình chóp là một hình bình hành.

Ta có: $ABCD$  là hình thang và $I,J$ là trung điểm của $AD$ và $BC$  nên $IJ$  là đường trung bình của hình thang $ABCD$.

\( \Rightarrow IJ//AB//CD\) .

\(\left\{ \begin{array}{l}G \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {{\rm{IJ}}G} \right)\\AB \subset \left( {SAB} \right)\\{\rm{IJ}} \subset \left( {{\rm{IJ}}G} \right)\\AB//{\rm{IJ}}\end{array} \right. \Rightarrow \) Trong $\left( {SAB} \right)$ qua $G$  kẻ \(MN//AB\left( {M \in SA;N \in SB} \right)\)

\( \Rightarrow \left( {SAB} \right) \cap \left( {{\rm{IJ}}G} \right) = MN\) và $MN//IJ//AB//CD$ .

Dễ thấy thiết diện của $\left( {IJG} \right)$ và hình chóp là hình thang $MNJI$.

$G$  là trọng tâm của tam giác $SAB$  và $MN//AB$ nên theo định lí Ta-let ta có:

\(\dfrac{{MN}}{{AB}} = \dfrac{{SG}}{{SE}} = \dfrac{2}{3}\) (Với $E$  là trung điểm của $AB$).

\( \Rightarrow MN = \dfrac{2}{3}AB\)

Lại có: $IJ$ là đường trung bình của hình thang $ABCD$  nên ${\rm{IJ}} = \dfrac{{AB + CD}}{2}.$

Để hình thang $MNJI$  trở thành hình bình hành thì cần điều kiện $MN = IJ$.

\( \Rightarrow \dfrac{2}{3}AB = \dfrac{1}{2}\left( {AB + CD} \right) \Leftrightarrow \dfrac{1}{6}AB = \dfrac{1}{2}CD \Leftrightarrow AB = 3CD.\)