Tìm $m$ để tồn tại duy nhất cặp $\left( {x;\,y} \right)$ thỏa mãn ${\log _{{x^2} + {y^2} + 2}}\left( {4x + 4y - 4} \right) \ge 1$ và ${x^2} + {y^2} + 2x - 2y + 2 - m = 0$.

Điều kiện $4x + 4y - 4 > 0$

Ta có ${\log _{{x^2} + {y^2} + 2}}\left( {4x + 4y - 4} \right) \ge 1$ $\Leftrightarrow 4x + 4y - 4 \ge {x^2} + {y^2} + 2$$\Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} \le 2\,\,\,\,\left( {{C_1}} \right)$

Miền nghiệm của bất phương trình là hình tròn (cả bờ) $\left( {{C_1}} \right)$ có tâm ${I_1}\,\left( {2;\,\,2} \right)$ bán kính ${R_1} = \sqrt 2$

Mặt khác: ${x^2} + {y^2} + 2x - 2y + 2 - m = 0$$\Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = m\,\,\,\left( * \right)$

Với $m = 0$ $\Rightarrow x =  - 1;\,\,y = 1$ không thỏa mãn: ${\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} \le 2$.

Với $m > 0$ thì $\,\left( * \right)$ là đường tròn$\,\left( {{C_2}} \right)$ có tâm ${I_2}\,\left( { - 1;\,\,1} \right)$ bán kính ${R_2} = \sqrt m$.

Để tồn tại duy nhất cặp $\left( {x;\,y} \right)$ thì $\,\left( {{C_1}} \right)$ và $\,\left( {{C_2}} \right)$ tiếp xúc với nhau.

Trường hợp 1: $\,\left( {{C_1}} \right)$ và$\,\left( {{C_2}} \right)$ tiếp xúc ngoài.

Khi đó: ${R_1} + {R_2} = {I_1}{I_2}$$\Leftrightarrow\sqrt m  + \sqrt 2  = \sqrt {10}$$\Leftrightarrow m = {\left( {\sqrt {10}  - \sqrt 2 } \right)^2}$

Trường hợp 2: $\,\left( {{C_1}} \right)$ nằm trong $\,\left( {{C_2}} \right)$ và hai đường tròn tiếp xúc trong.

Khi đó: ${R_2} - {R_1} = {I_1}{I_2}$$\Leftrightarrow \sqrt m  - \sqrt 2  = \sqrt {10}$ $\Leftrightarrow m = {\left( {\sqrt {10}  + \sqrt 2 } \right)^2}$

Vậy $m = {\left( {\sqrt {10}  - \sqrt 2 } \right)^2}$ và $m = {\left( {\sqrt {10}  + \sqrt 2 } \right)^2}$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.