Tìm \(m\) để tồn tại duy nhất cặp \(\left( {x;\,y} \right)\) thỏa mãn \({\log _{{x^2} + {y^2} + 2}}\left( {4x + 4y - 4} \right) \ge 1\) và \({x^2} + {y^2} + 2x - 2y + 2 - m = 0\).

Điều kiện \(4x + 4y - 4 > 0\)

Ta có \({\log _{{x^2} + {y^2} + 2}}\left( {4x + 4y - 4} \right) \ge 1\) \( \Leftrightarrow 4x + 4y - 4 \ge {x^2} + {y^2} + 2\)\( \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} \le 2\,\,\,\,\left( {{C_1}} \right)\)

Miền nghiệm của bất phương trình là hình tròn (cả bờ) \(\left( {{C_1}} \right)\) có tâm \({I_1}\,\left( {2;\,\,2} \right)\) bán kính \({R_1} = \sqrt 2 \)

Mặt khác: \({x^2} + {y^2} + 2x - 2y + 2 - m = 0\)\( \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = m\,\,\,\left( * \right)\)

Với \(m = 0\) \( \Rightarrow x =  - 1;\,\,y = 1\) không thỏa mãn: \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} \le 2\).

Với \(m > 0\) thì \(\,\left( * \right)\) là đường tròn\(\,\left( {{C_2}} \right)\) có tâm \({I_2}\,\left( { - 1;\,\,1} \right)\) bán kính \({R_2} = \sqrt m \).

Để tồn tại duy nhất cặp \(\left( {x;\,y} \right)\) thì \(\,\left( {{C_1}} \right)\) và \(\,\left( {{C_2}} \right)\) tiếp xúc với nhau.

Trường hợp 1: \(\,\left( {{C_1}} \right)\) và\(\,\left( {{C_2}} \right)\) tiếp xúc ngoài.

Khi đó: \({R_1} + {R_2} = {I_1}{I_2}\)\(\Leftrightarrow\sqrt m  + \sqrt 2  = \sqrt {10} \)\( \Leftrightarrow m = {\left( {\sqrt {10}  - \sqrt 2 } \right)^2}\)

Trường hợp 2: \(\,\left( {{C_1}} \right)\) nằm trong \(\,\left( {{C_2}} \right)\) và hai đường tròn tiếp xúc trong.

Khi đó: \({R_2} - {R_1} = {I_1}{I_2}\)\( \Leftrightarrow \sqrt m  - \sqrt 2  = \sqrt {10} \) \( \Leftrightarrow m = {\left( {\sqrt {10}  + \sqrt 2 } \right)^2}\)

Vậy \(m = {\left( {\sqrt {10}  - \sqrt 2 } \right)^2}\) và \(m = {\left( {\sqrt {10}  + \sqrt 2 } \right)^2}\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.