Tìm giá trị nhỏ nhất $m$ của hàm số $f\left( x \right) = \sqrt {7 - 2x}  + \sqrt {3x + 4} .$

      Hàm số xác định khi $\left\{ \begin{array}{l}7 - 2x \ge 0\\3x + 4 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow  - \dfrac{4}{3} \le x \le \dfrac{7}{2}$ nên TXĐ ${\rm{D}} = \left[ { - \dfrac{4}{3};\dfrac{7}{2}} \right].$

Ta có ${y^2} = {\left( {\sqrt {7 - 2x}  + \sqrt {3x + 4} } \right)^2} = 7 - 2x + 2\sqrt {\left( {7 - 2x} \right)\left( {3x + 4} \right)}  + 3x + 4$

$= x + 11 + 2\sqrt {\left( {7 - 2x} \right)\left( {3x + 4} \right)}  = \dfrac{1}{3}\left( {3x + 4} \right) + 2\sqrt {\left( {7 - 2x} \right)\left( {3x + 4} \right)}  + \dfrac{{29}}{3}.$

Vì $\left\{ \begin{array}{l}3x + 4 \ge 0\\\sqrt {\left( {7 - 2x} \right)\left( {3x + 4} \right)}  \ge 0\end{array} \right.,\,\,\forall x \in \left[ { - \dfrac{4}{3};\dfrac{7}{2}} \right]$ nên suy ra

Dấu $'' = ''$ xảy ra $\Leftrightarrow x =  - \dfrac{4}{3}.$ Vậy $m = \dfrac{{\sqrt {87} }}{3}.$