Số các giá trị của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right)=x{}^\text{2}+\left( 2m+1 \right)x+m{}^\text{2}-1\) trên đoạn $[0;1]$ bằng $1$ là

Ta có

\(\begin{array}{l} + )\,\, - \dfrac{b}{{2a}} =  - \dfrac{{\left( {2m + 1} \right)}}{2} = \dfrac{{ - 2m - 1}}{2}\\ +) \,\,\,\Delta  = {\left( {2m + 1} \right)^2} - 4\left( {{m^2} - 1} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 4{m^2} + 4m + 1 - 4{m^2} + 4\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 4m + 5\\\dfrac{{ - \Delta }}{{4a}} = \dfrac{{ - 4m - 5}}{4}\end{array}\)

Vậy đồ thị hàm số có đỉnh \(I\left( {\dfrac{{ - 2m - 1}}{2};\dfrac{{ - 4m - 5}}{4}} \right)\)

Vì \(a > 0\)  nên đồ thị hàm số là parabol có bề lõm hướng lên trên và có điểm thấp nhất là đỉnh \(I\left( {\dfrac{{ - 2m - 1}}{2};\dfrac{{ - 4m - 5}}{4}} \right)\)

+) TH1

\(\begin{array}{l}\dfrac{{ - b}}{{2a}} \in \left[ {0;1} \right] \Leftrightarrow 0 \le \dfrac{{ - 2m - 1}}{2} \le 1\\ \Leftrightarrow 0 \le  - 2m - 1 \le 2\\{\mkern 1mu}  \Leftrightarrow 1 \le  - 2m \le 3\\{\mkern 1mu}  \Leftrightarrow \dfrac{{ - 1}}{2} \ge m \ge \dfrac{{ - 3}}{2}\end{array}\)

Khi đó \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;1} \right]} f\left( x \right) = \dfrac{{ - \Delta }}{{4a}}\)\( = \dfrac{{ - 4m - 5}}{4} = 1\)

\( \Leftrightarrow  - 4m - 5 = 4\)\( \Leftrightarrow m = \dfrac{{ - 9}}{4}\)\( \Leftrightarrow  - 4m = 9\) (loại)

+) TH2: \(\dfrac{{ - b}}{{2a}} < 0 \Leftrightarrow \dfrac{{ - 2m - 1}}{2} < 0\)\( \Leftrightarrow m > \dfrac{{ - 1}}{2}\)

Khi đó \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;1} \right]} f\left( x \right) = f(0)\)\( = {m^2} - 1 = 1\) \( \Leftrightarrow {m^2} = 2\)\( \Rightarrow m =  \pm \sqrt 2 \)

Kết hợp với điều kiện \( \Rightarrow m = \sqrt 2 \)

+) TH3: \(\dfrac{{ - b}}{{2a}} > 1\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{ - 2m - 1}}{2} > 1\\ \Leftrightarrow  - 2m - 1 > 2\\ \Leftrightarrow  - 2m > 3\\ \Leftrightarrow m < \dfrac{{ - 3}}{2}\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;1} \right]} f\left( x \right) = f(1) \\= 1 + \left( {2m + 1} \right) + {m^2} - 1 \\= {m^2} + 2m + 1 = 1\\ \Leftrightarrow {m^2} + 2m = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m =  - 2\end{array} \right.\end{array}\)

Kết hợp với điều kiện \(m =  - 2\)

Vậy có 2 giá trị của m thỏa mãn.