Gọi $S$ là tập hợp các điểm thuộc đường thẳng$y = 2$ mà qua mỗi điểm thuộc $S$ đều kẻ được hai tiếp tuyến phân biệt tới đồ thị hàm số $y = \dfrac{{{x^2}}}{{x - 1}}$ đồng thời hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau. Tính tổng hoành độ $T$ của tất cả các điểm thuộc $S$.

\(y = \dfrac{{{x^2}}}{{x - 1}} = x + 1 + \dfrac{1}{{x - 1}}\)

Gọi điểm \(A\left( {a;2} \right) \in \left( d \right):y = 2\). Đường thẳng đi qua \(A\) có dạng \(y = k\left( {x - a} \right) + 2\)

Điều kiện tiếp xúc: \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{x^2}}}{{x - 1}} = k\left( {x - a} \right) + 2\\\dfrac{{{x^2} - 2x}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = k\end{array} \right.\)

Ta có: $\dfrac{{{x^2} - 2x}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = k$ \(\Rightarrow \dfrac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2} - 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = k\) \( \Rightarrow 1 - \dfrac{1}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = k\) \( \Rightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} = \dfrac{1}{{1 - k}}\)

\(\dfrac{{{x^2}}}{{x - 1}} = k\left( {x - a} \right) + 2\)\( \Leftrightarrow x + 1 + \dfrac{1}{{x - 1}} = k\left( {x - a} \right) + 2\)  \( \Leftrightarrow x - 1 + \dfrac{1}{{x - 1}} = k\left( {x - 1} \right) + k\left( {1 - a} \right)\)

\( \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + 1 = k{\left( {x - 1} \right)^2} + k\left( {1 - a} \right)\left( {x - 1} \right)\) \( \Leftrightarrow \left( {1 - k} \right){\left( {x - 1} \right)^2} + 1 = k\left( {1 - a} \right)\left( {x - 1} \right)\) \( \Leftrightarrow \left( {1 - k} \right).\dfrac{1}{{1 - k}} + 1 = k\left( {1 - a} \right)\left( {x - 1} \right)\) \( \Leftrightarrow 2 = k\left( {1 - a} \right)\left( {x - 1} \right)\) \( \Leftrightarrow x - 1 = \dfrac{2}{{k\left( {1 - a} \right)}}\)

\( \Rightarrow {\left[ {\dfrac{2}{{k\left( {1 - a} \right)}}} \right]^2} = \dfrac{1}{{1 - k}}\) \( \Leftrightarrow \dfrac{4}{{{k^2}{{\left( {1 - a} \right)}^2}}} = \dfrac{1}{{1 - k}}\) \( \Leftrightarrow {k^2}{\left( {1 - a} \right)^2} = 4\left( {1 - k} \right)\)

\( \Rightarrow \)\({\left( {1 - a} \right)^2}{k^2} + 4k - 4 = 0\)

Để \(2\) tiếp tuyến vuông góc nhau thì phương trình trên có hai nghiệm phân biệt \(k_1,k_2\) sao cho \(k_1.k_2=-1\)

\( \Rightarrow \) \(\dfrac{{ - 4}}{{{{\left( {1 - a} \right)}^2}}} =  - 1\)

\( \Rightarrow \)\(\left[ \begin{array}{l}a = 3\,\,\,\,\,\,\,\\a =  - 1\,\,\,\,\end{array} \right.\)

Vậy tổng hai hoành độ là \(2\).