Câu hỏi:
2 năm trước
Giá trị nào của \(m\) để phương trình \(\log _3^2x + \sqrt {\log _3^2x + 1} - 2m - 1 = 0\) có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {1\,;\,\,{3^{\sqrt 3 }}} \right]\).
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: d
Điều kiện \(x > 0\).
Đặt \(t = \sqrt {\log _3^2x + 1} \ge 1\), ta được phương trình \({t^2} + t - 2m - 2 = 0\,\,\,\left( * \right)\)
Ta có \(x \in \left[ {1\,;\,\,{3^{\sqrt 3 }}} \right]\) \( \Leftrightarrow \) \(0 \le {\log _3}x \le \sqrt 3 \) \( \Leftrightarrow \) \(1 \le t = \sqrt {\log _3^2x + 1} \le 2\).
Phương trình đã cho có nghiệm $x \in \left[ {1\,;\,\,{3^{\sqrt 3 }}} \right]$ $\Leftrightarrow$ \(\left( * \right)\) có nghiệm \(t \in \left[ {1\,;\,2} \right]\).
Đặt \(f\left( t \right) = {t^2} + t\), với \(t \in \left[ {1\,;\,\,2} \right]\).
Hàm số \(f\left( t \right)\) là hàm đồng biến trên đoạn \(\left[ {1\,;\,\,2} \right]\).
Ta có \(f\left( 1 \right) = 2\) và \(f\left( 2 \right) = 6\).
Phương trình \({t^2} + t = 2m + 2\) \( \Leftrightarrow \) \(f\left( t \right) = 2m + 2\) có nghiệm \(t \in \left[ {1\,;\,\,2} \right]\) \( \Leftrightarrow \) \(f\left( 1 \right) \le 2m + 2 \le f\left( 2 \right)\)
\( \Leftrightarrow \) \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( 1 \right) \le 2m + 2\\2m + 2 \le f\left( 2 \right)\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \) \(\left\{ \begin{array}{l}2 \le 2m + 2\\2m + 2 \le 6\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \) \(0 \le m \le 2\).
Hướng dẫn giải:
- Đặt ẩn phụ \(t = \sqrt {\log _3^2x + 1} \) và tìm điều kiện của ẩn đưa phương trình về phương trình bậc hai.
- Cô lập \(m\) đưa phương trình về dạng \(f\left( t \right) = g\left( m \right)\)
- Dùng phương pháp hàm số xét hàm \(y = f\left( t \right)\) rồi sử dụng mối tương quan đồ thị để suy ra điều kiện để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {1\,;\,\,{3^{\sqrt 3 }}} \right]\)
