Giả sử \({\left( {1 + x + {x^2} + {x^3} + ... + {x^{10}}} \right)^{11}} = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + {a_3}{x^3} + ... + {a_{110}}{x^{110}}\) với \({a_0}\), \({a_1}\), \({a_2}\), …, \({a_{110}}\) là các hệ số. Giá trị của tổng \(T = C_{11}^0{a_{11}} - C_{11}^1{a_{10}} + C_{11}^2{a_9} - C_{11}^3{a_8} + ... + C_{11}^{10}{a_1} - C_{11}^{11}{a_0}\) bằng

Tung một đồng xu không đồng chất $2020$ lần. Biết rằng xác suất xuất hiện mặt sấp là $0,6$. Tính xác suất để mặt sấp xuất hiện đúng $1010$ lần.

Cho \(5\) chữ số \(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(6\). Lập các số tự nhiên có \(3\) chữ số đôi một khác nhau từ \(5\) chữ số đã cho. Tính tổng của các số lập được.

Cho tập hợp $A = \left\{ {1;2;3;4...;100} \right\}$. Gọi $S$ là tập hợp gồm tất cả các tập con của \(A\), mỗi tập con này gồm 3 phần tử của \(A\) và có tổng bằng \(91.\) Chọn ngẫu nhiên một phần tử của $S.$ Xác suất chọn được phần tử có $3$ số lập thành cấp số nhân bằng?

Với \(n\) là số nguyên dương thỏa mãn \(C_n^1 + C_n^2 = 55\), hệ số của \({x^5}\) trong khai triển của biểu thức \({\left( {{x^3} + \dfrac{2}{{{x^2}}}} \right)^n}\) bằng

Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên có 4 chữ số. Tính xác suất để số được chọn có dạng \(\overline {abcd} \), trong đó \(1 \le a \le b \le c \le d \le 9\).

Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các số tự nhiên có \(7\) chữ số và chia hết cho \(9\). Chọn ngẫu nhiên một số từ tập \(S\), tính xác suất để các chữ số của số đó đôi một khác nhau.

Cho số nguyên dương \(n\) thỏa mãn \(C_{2n}^1 + C_{2n}^3 +  \cdots  + C_{2n}^{2n - 1} = 512\). Tính tổng \(S = {2^2}C_n^2 - {3^2}C_n^3 +  \cdots  + {\left( { - 1} \right)^n}.{n^2}.C_n^n\).