Câu hỏi:
2 năm trước
Cho \(x,{\rm{ }}y\) là hai số thực thỏa mãn \(x > y\) và \(xy = 1000.\) Biết biểu thức \(F = \dfrac{{{x^2} + {y^2}}}{{x - y}}\) đạt giá trị nhỏ nhất khi \(\left\{ \begin{array}{l}x = a\\y = b\end{array} \right.\). Tính \(P = \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{{1000}}.\)
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: c
Ta có \(F = \dfrac{{{x^2} + {y^2}}}{{x - y}} = \dfrac{{{x^2} - 2xy + {y^2} + 2xy}}{{x - y}} = \dfrac{{{{\left( {x - y} \right)}^2} + 2.1000}}{{x - y}} = x - y + \dfrac{{2.1000}}{{x - y}}.\)
Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có \(F = x - y + \dfrac{{2.1000}}{{x - y}} \ge 2\sqrt {\left( {x - y} \right).\dfrac{{2.1000}}{{x - y}}} = 40\sqrt 5 .\)
Dấu xảy ra $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}xy = 1000\\x - y = \dfrac{{2.1000}}{{x - y}} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}xy = 1000\\x - y = 20\sqrt 5 \end{array} \right..$
Vậy ${F_{\min }} = 40\sqrt 5 $ khi $\left\{ \begin{array}{l}ab = 1000\\a - b = 20\sqrt 5 \end{array} \right. $
$\Rightarrow {a^2} + {b^2} = {\left( {a - b} \right)^2} + 2ab =(20\sqrt 5)^2+2.1000= 4000 $
$\Rightarrow \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{{1000}} = 4.$
Hướng dẫn giải:
Biến đổi \(F\) làm xuất hiện tích \(xy\), kết hợp sử dụng bất đẳng thức Cô – si.
Câu hỏi khác
- Bài tập bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn toán 10 có lời giải
- Bài tập bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn toán 10 có lời giải
- Bài tập bất đẳng thức toán 10 có lời giải
- Bài tập dấu của nhị thức bậc nhất toán 10 có lời giải
- Bài tập đại cương về bất phương trình toán 10 có lời giải
