Câu hỏi:
2 năm trước
Cho \(x,{\rm{ }}y\) là các số thực dương và thỏa mãn \(x + y \ge 3.\) Tìm giá trị nhỏ nhất \({F_{\min }}\) của biểu thức \(F = x + y + \dfrac{1}{{2x}} + \dfrac{2}{y}.\)
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: a
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số thực dương, ta có
$\dfrac{x}{2} + \dfrac{1}{{2x}} \ge 2\sqrt {\dfrac{x}{2}.\dfrac{1}{{2x}}} = 2.\dfrac{1}{{\sqrt 4 }} = 1$ và $\dfrac{y}{2} + \dfrac{2}{y} \ge 2\sqrt {\dfrac{y}{2}.\dfrac{2}{y}} = 2.$
Khi đó $F = x + y + \dfrac{1}{{2x}} + \dfrac{2}{y} = \dfrac{{x + y}}{2} + \left( {\dfrac{x}{2} + \dfrac{1}{{2x}}} \right) + \left( {\dfrac{y}{2} + \dfrac{2}{y}} \right) \ge \dfrac{3}{2} + 1 + 2 = 4\dfrac{1}{2}.$
Dấu xảy ra $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 3\\\dfrac{x}{2} = \dfrac{1}{{2x}};\,\,\dfrac{y}{2} = \dfrac{2}{y}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\end{array} \right..$ Vậy ${F_{\min }} = 4\dfrac{1}{2}.$
Hướng dẫn giải:
Tách \(x,y\) thành \(\dfrac{x}{2},\dfrac{y}{2}\) rồi nhóm các số hạng tích hợp để áp dụng bất đẳng thức Cô – si.
Câu hỏi khác
- Bài tập bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn toán 10 có lời giải
- Bài tập bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn toán 10 có lời giải
- Bài tập bất đẳng thức toán 10 có lời giải
- Bài tập dấu của nhị thức bậc nhất toán 10 có lời giải
- Bài tập đại cương về bất phương trình toán 10 có lời giải
