Cho tứ diện $ABCD$ đều có cạnh bằng $2\sqrt 2$. Gọi $G$ là trọng tâm tứ diện $ABCD$ và $M$ là trung điểm $AB$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $BG$ và $CM$ bằng

Bên cạnh con đường trước khi vào thành phố người ta xây một ngọn tháp đèn lộng lẫy. Ngọn tháp hình tứ giác đều $S.ABCD$ cạnh bên $SA = 600$ mét, $\widehat {ASB} = 15^\circ$. Do có sự cố đường dây điện tại điểm $Q$ (là trung điểm của $SA$) bị hỏng, người ta tạo ra một con đường từ $A$ đến $Q$ gồm bốn đoạn thẳng: $AM$, $MN$, $NP$, $PQ$ (hình vẽ). Để tiết kiệm kinh phí, kỹ sư đã nghiên cứu và có được chiều dài con đường từ $A$ đến $Q$ ngắn nhất. Tính tỉ số $k = \dfrac{{AM + MN}}{{NP + PQ}}$.

Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có $AB = 1$, $AC = 2$, $AA' = 3$và $\widehat {BAC} = 120^\circ$. Gọi $M$, $N$ lần lượt là các điểm trên cạnh $BB'$, $CC'$sao cho $BM = 3B'M$; $CN = 2C'N$. Tính khoảng cách từ điểm $M$ đến mặt phẳng $\left( {A'BN} \right)$.

Xét tứ diện $OABC$ có $OA$, $OB$, $OC$ đôi một vuông góc. Gọi $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ lần lượt là góc giữa các đường thẳng $OA$, $OB$, $OC$ với mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ (hình vẽ).

Khi đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức $M = \left( {3 + {{\cot }^2}\alpha } \right).\left( {3 + {{\cot }^2}\beta } \right).\left( {3 + {{\cot }^2}\gamma } \right)$ là

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $3$. Hai mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {SAC} \right)$ cùng vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa $SB$ và mặt phẳng đáy bằng $60^\circ$. Gọi $M$, $N$ là các điểm lần lượt thuộc cạnh đáy $BC$ và $CD$ sao cho $BM = 2MC$ và $CN = 2ND$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau $DM$ và $SN.$

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$, $BC = a$, cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy, $SA = a\sqrt 3$. Gọi $M$ là trung điểm của $AC$. Tính côtang góc giữa hai mặt phẳng $\left( {SBM} \right)$ và $\left( {SAB} \right)$.

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh bằng $a$. Số đo góc giữa hai mặt phẳng $\left( {BA'C} \right)$ và $\left( {DA'C} \right)$ bằng