Cho tứ diện \(ABCD\) có thể tích bằng \(18\). Gọi \({A_1}\) là trọng tâm của tam giác \(BCD\); \(\left( P \right)\) là mặt phẳng qua \(A\) sao cho góc giữa \(\left( P \right)\) và mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\) bằng \({60^0}\). Các đường thẳng qua \(B,\,\,C,\,\,D\) song song với \(A{A_1}\) cắt \(\left( P \right)\) lần lượt tại \({B_1},\,\,{C_1},\,\,{D_1}\). Thể tích khối tứ diện \({A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\)  bằng?

Cho hình chóp \(S.\,ABC\) có \(SA\) vuông góc với đáy. Tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(B\), biết \(SA = AC = 2a\). Thể tích khối chóp \(S.ABC\) là

Cho hình lăng trụ \(ABC.\,A'B'C'\) có thể tích bằng \(V\). Gọi \(M\) là trung điểm cạnh \(BB'\), điểm \(N\) thuộc cạnh \(CC'\) sao cho \(CN = 2C'N\). Tính thể tích khối chóp \(A.\,BCNM\) theo \(V\).

Cho khối chóp đều $S . A B C D$ có \(AB = 2a\) và thể tích bằng \(\dfrac{{4\sqrt 3 }}{3}{a^3}\). Côsin góc giữa hai mặt phẳng \((SAB)\) và \((SCD)\) bằng

Cho hình chóp đều \(S.ABCD\) có cạnh \(AB = a\), góc giữa đường thẳng \(SA\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) bằng \(45^0\). Thể tích khối chóp \(S.\,ABCD\) là

Cho hình chóp đều $S . A B C$ cạnh đáy bằng $2 a$ và cạnh bên bằng $3 a$. Gọi \(M\) là điểm thay đổi trên cạnh \(AB,(P)\) qua \(M\) và song song với $S A, B C$ chia khối chóp $S . A B C$ thành hai phần. Biết thiết diện của hình chóp $S . A B C$ cắt bởi \((P)\) là hình thoi. Tính thể tích phần chứa đỉnh \(A\).

Cho hình chóp đều \(S.ABC\), góc giữa mặt bên và mặt phẳng đáy \(\left( {ABC} \right)\) bằng \({60^0}\), khoảng cách giữa hai đường thẳng \(SA\) và \(BC\) bằng \(\dfrac{{3a}}{{2\sqrt 7 }}\). Thể tích của khối chóp \(S.ABC\) theo \(a\) bằng:

Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có chiều cao bằng \(h\), góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\) bằng \(\alpha \). Tính thể tích của khối chóp \(S.ABCD\) theo \(h\) và \(\alpha \).