Cho hình chóp đều \(S.ABC\), góc giữa mặt bên và mặt phẳng đáy \(\left( {ABC} \right)\) bằng \({60^0}\), khoảng cách giữa hai đường thẳng \(SA\) và \(BC\) bằng \(\dfrac{{3a}}{{2\sqrt 7 }}\). Thể tích của khối chóp \(S.ABC\) theo \(a\) bằng:
Trả lời bởi giáo viên
+ Gọi \(O\) là tâm tam giác đều \(ABC\) \( \Rightarrow SO \bot \left( {ABC} \right)\).
+ Gọi \(N\) là trung điểm \(BC\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AN\\BC \bot SO\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAN} \right) \Rightarrow BC \bot SN\).
+ \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\SN \subset \left( {SBC} \right),\,\,SN \bot BC\\AN \subset \left( {ABC} \right),\,\,AN \bot BC\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \angle \left( {\left( {SBC} \right);\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {SN;AN} \right) = \angle SNA = {60^0}\).
+ Trong \(\left( {SAM} \right)\) kẻ \(NH \bot SA\,\,\left( {H \in SA} \right)\) \( \Rightarrow NH \bot BC\) \( \Rightarrow d\left( {SA;BC} \right) = NH = \dfrac{{3a}}{{2\sqrt 7 }}\).
+ Đặt \(ON = x \Rightarrow AN = 3x,\,\,OA = 2x\).
+ \(\Delta SON:\,\,SO = ON.\tan {60^0} = x\sqrt 3 \), \(SA = \sqrt {S{O^2} + O{A^2}} = \sqrt {3{x^2} + 4{x^2}} = x\sqrt 7 \).
+ \(\Delta SAN:\,\,{S_{\Delta SAN}} = \dfrac{1}{2}SO.AN = \dfrac{1}{2}NH.SA\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow SO.AN = NH.SA\\ \Rightarrow x\sqrt 3 .3x = \dfrac{{3a}}{{2\sqrt 7 }}.x\sqrt 7 \\ \Leftrightarrow x = \dfrac{a}{{2\sqrt 3 }}\end{array}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow AM = 3a = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{AB\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow AB = a\\ \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\end{array}\)
Và \(SO = x\sqrt 3 = \dfrac{a}{2}\).
Vậy \({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SO.{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{a}{2}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{24}}\).
Hướng dẫn giải:
- Gọi \(O\) là tâm tam giác đều \(ABC\) \( \Rightarrow SO \bot \left( {ABC} \right)\).
- Gọi \(N\) là trung điểm \(BC\), chứng minh \(\angle \left( {\left( {SBC} \right);\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {SN;AN} \right)\).
- Đặt \(ON = x\), tính \(SO,\,\,SA\) theo \(x\), sử dụng tỉ số lượng giác và định lí Pytago trong tam giác vuông.
- Sử dụng hệ thức: \(SO.AN = NH.SA\), tính \(x\) theo \(a\). Từ đó tính được \(AB\) và tính được \({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{A{B^2}\sqrt 3 }}{4}\).
- Tính thể tích \({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SO.{S_{\Delta ABC}}\).