Cho số phức z thỏa điều kiện \(\left| {z + 2} \right| = \left| {z + 2i} \right|\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

\(P = \left| {z - 1 - 2i} \right| + \left| {z - 3 - 4i} \right| + \left| {z - 5 - 6i} \right|\)

được viết dưới dạng \(\dfrac{{a + b\sqrt {17} }}{{\sqrt 2 }}\) với a, b là các hữu tỉ. Giá trị của \(a + b\) là:

Gọi \(z = x + yi\,\,\left( {x,y \in R} \right)\). Từ giả thiết \(\left| {z + 2} \right| = \left| {z + 2i} \right|\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left| {x + yi + 2} \right| = \left| {x + yi + 2i} \right| \Leftrightarrow {\left( {x + 2} \right)^2} + {y^2} = {x^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} \Leftrightarrow x = y \Leftrightarrow z = x + xi\\ \Rightarrow P = \left| {x + xi - 1 - 2i} \right| + \left| {x + xi - 3 - 4i} \right| + \left| {x + xi - 5 - 6i} \right|\\ = \sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {{\left( {x - 2} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {x - 3} \right)}^2} + {{\left( {x - 4} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {x - 5} \right)}^2} + {{\left( {x - 6} \right)}^2}} \end{array}\)
Sử dụng BĐT \(\sqrt {{a^2} + {b^2}} + \sqrt {{c^2} + {d^2}} \ge \sqrt {{{\left( {a + c} \right)}^2} + {{\left( {b + d} \right)}^2}} \).
Dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow \dfrac{a}{c} = \dfrac{b}{d}\). Ta có :
\(\begin{array}{l}\sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {{\left( {x - 2} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {x - 5} \right)}^2} + {{\left( {x - 6} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {{\left( {x - 2} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {5 - x} \right)}^2} + {{\left( {6 - x} \right)}^2}} \\ \ge \sqrt {{{\left( {x - 1 + 6 - x} \right)}^2} + {{\left( {x - 2 + 5 - x} \right)}^2}} = \sqrt {34} \end{array}\)
Dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow \dfrac{{x - 1}}{{6 - x}} = \dfrac{{x - 2}}{{5 - x}} \Leftrightarrow x = \dfrac{7}{2}\).
Mặt khác \(\sqrt {{{\left( {x - 3} \right)}^2} + {{\left( {x - 4} \right)}^2}} = \sqrt {2{x^2} - 14x + 25} = \sqrt 2 \sqrt {{{\left( {x - \dfrac{7}{2}} \right)}^2} + \dfrac{1}{4}} \ge \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\)
Dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow x = \dfrac{7}{2}\).
Từ đó ta thấy \({P_{\min }} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} + \sqrt {34} = \dfrac{{1 + 2\sqrt {17} }}{{\sqrt 2 }} \Leftrightarrow a = 1,\,\,b = 2 \Rightarrow a + b = 3\)