Xét các số phức \(z=a+bi\) (\(a,b\in \mathbb{R}\)) thỏa mãn điều kiện \(\left| z-3-2i \right|=2\). Tính \(a+b\) khi \(\left| z+1-2i \right|+2\left| z-2-5i \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Cách 1: Đặt \(z-3-2i=w\) với \(w=x+yi\) \(\left( x,y\in \mathbb{R} \right)\).
Theo bài ra ta có \(\left| w \right|=2\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=4\).
Ta có \(P=\left| z+1-2i \right|+2\left| z-2-5i \right|=\left| w+4 \right|+2\left| w+1-3i \right|=\sqrt{{{\left( x+4 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}+2\sqrt{{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}}\) \(\begin{align} & =\sqrt{20+8x}+2\sqrt{{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}}=2\sqrt{5+2x}+2\sqrt{{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}} \\ & =2\left( \sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x+1}+\sqrt{{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}} \right)=2\left( \sqrt{{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}+\sqrt{{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}} \right) \\ & \ge 2\left( \left| y \right|+\left| y-3 \right| \right)\ge 2\left| y+3-y \right|=6. \\ \end{align}\)
Do đó
\(P = 6 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = - 1\\
y\left( {3 - y} \right) \ge 0\\
{x^2} + {y^2} = 4
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = - 1\\
y = \sqrt 3
\end{array} \right.\)
Vậy GTNN của \(P\) là bằng \(6\) đạt được khi \(z=2+\left( 2+\sqrt{3} \right)i\). \(\Rightarrow a+b=2+2+\sqrt{3}=4+\sqrt{3}.\)
Cách 2: Giả thiết \(\left| z-3-2i \right|=2\)\(\Rightarrow MI=2\)\(\Rightarrow M\in \left( I;2 \right)\) với \(I=\left( 3;2 \right)\). \(P=\left| z+1-2i \right|+2\left| z-2-5i \right|=MA+2MB\) với \(A=\left( 1;2 \right)\), \(B=\left( 2;5 \right)\).
Ta có \(IM=2\); \(IA=4\). Chọn \(K\left( 2;2 \right)\) thì \(IK=1\). Do đó ta có \(IA.IK=I{{M}^{2}}\)\(\Rightarrow \dfrac{IA}{IM}=\dfrac{IM}{IK}\) \(\Rightarrow \Delta IAM\) và \(\Delta IMK\) đồng dạng với nhau \(\Rightarrow \dfrac{AM}{MK}=\dfrac{IM}{IK}=2\)\(\Rightarrow AM=2MK\).
Từ đó \(P=MA+2MB\)\(=2\left( MK+MB \right)\)\(\ge 2BK\).
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(M\), \(K\), \(B\) thẳng hàng và \(M\) thuộc đoạn thẳng \(BK\).
Từ đó tìm được \(M=\left( 2;2+\sqrt{3} \right)\).
Cách 3: Gọi \(M\left( a;b \right)\) là điểm biểu diễn số phức \(z=a+bi.\)
Đặt \(I=\left( 3;2 \right)\), \(A\left( -1;2 \right)\) và \(B\left( 2;5 \right)\).
Ta xét bài toán: Tìm điểm M thuộc đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\), bán kính \(R=2\) sao cho biểu thức \(P=MA+2MB\) đạt giá trị nhỏ nhất.
Trước tiên, ta tìm điểm \(K\left( x;y \right)\) sao cho \(MA=2MK\)\(\forall M\in \left( C \right)\).
Ta có \(MA=2MK\Leftrightarrow M{{A}^{2}}=4M{{K}^{2}}\Leftrightarrow {{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA} \right)}^{2}}=4{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IK} \right)}^{2}}\) \(\Leftrightarrow M{{I}^{2}}+I{{A}^{2}}+2\overrightarrow{MI}.\overrightarrow{IA}=4\left( M{{I}^{2}}+I{{K}^{2}}+2\overrightarrow{MI}.\overrightarrow{IK} \right)\Leftrightarrow 2\overrightarrow{MI}\left( \overrightarrow{IA}-4\overrightarrow{IK} \right)=3{{R}^{2}}+4I{{K}^{2}}-I{{A}^{2}}\)\(\left( * \right)\). \(\left( * \right)\) luôn đúng \(\forall M\in \left( C \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & \overrightarrow{IA}-4\overrightarrow{IK}=\overrightarrow{0} \\ & 3{{R}^{2}}+4I{{K}^{2}}-I{{A}^{2}}=0 \\ \end{align} \right.\) mà
\(\overrightarrow {IA} - 4\overrightarrow {IK} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
4\left( {x - 3} \right) = - 4\\
4\left( {y - 2} \right) = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 2\\
y = 2
\end{array} \right.\)
Thử trực tiếp ta thấy \(K\left( 2;2 \right)\) thỏa mãn \(3{{R}^{2}}+4I{{K}^{2}}-I{{A}^{2}}=0\).
Vì \(B{{I}^{2}}={{1}^{2}}+{{3}^{2}}=10>{{R}^{2}}=4\) nên \(B\) nằm ngoài \(\left( C \right)\).
Vì \(K{{I}^{2}}=1<{{R}^{2}}=4\) nên \(K\) nằm trong \(\left( C \right)\).
Ta có \(MA+2MB=2MK+2MB=2\left( MK+MB \right)\ge 2KB\).
Dấu bằng trong bất đẳng thức trên xảy ra khi và chỉ khi \(M\) thuộc đoạn thẳng \(BK\).
Do đó \(MA+2MB\) nhỏ nhất khi và chỉ khi M là giao điểm của \(\left( C \right)\) và đoạn thẳng \(BK.\)
Phương trình đường thẳng \(BK:x=2\).
Phương trình đường tròn \(\left( C \right):{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}=4\).
Tọa độ điểm \(M\) là nghiệm của hệ
\(\left\{ \begin{array}{l}
x = 2\\
{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 4
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 2\\
y = 2 + \sqrt 3
\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{align} & x=2 \\ & y=2-\sqrt{3} \\ \end{align} \right.\).
Thử lại thấy \(M\left( 2;2+\sqrt{3} \right)\) thuộc đoạn \(BK\).
Vậy \(a=2\), \(b=2+\sqrt{3}\) \(\Rightarrow a+b=4+\sqrt{3}\).