Cho phương trình \(\left( {2m + 1} \right){\rm{co}}{{\rm{s}}^2}2x - \left( {3m - 1} \right)\sin 2x - 3m + 1 = 0\) (\(m\) là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) để phương trình có đúng hai nghiệm phân biệt thuộc \(\left( { - \pi ;\pi } \right)\).

Bước 1:

Ta có \(\left( {2m + 1} \right){\rm{co}}{{\rm{s}}^2}2x - \left( {3m - 1} \right)\sin 2x - 3m + 1 = 0\,\,\left( * \right)\).

Đặt \(t = \sin 2x \Rightarrow  - 1 \le t \le 1\left( {x \in \left( { - \pi ;\pi } \right)} \right)\)

Bước 2:

Khi đó phương trình (*) có dạng:

\(\begin{array}{l}\left( {2m + 1} \right)\left( {1 - {t^2}} \right) - \left( {3m - 1} \right)t - 3m + 1 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {2m + 1} \right){t^2} + \left( {3m - 1} \right)t + m - 2 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {t + 1} \right)\left( {\left( {2m + 1} \right)t + m - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t =  - 1\\\left( {2m + 1} \right)t + m - 2 = 0\end{array} \right.\end{array}\)

Bước 3:

Nếu: \(t =  - 1\,\,\,\left( {tm} \right) \Rightarrow \sin 2x =  - 1\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2x = \dfrac{{ - \pi }}{2} + k2\pi \left( {k \in {\rm Z}} \right)\\ \Leftrightarrow x = \dfrac{{ - \pi }}{4} + k\pi  \in \left( { - \pi ;\pi } \right)\\ \Rightarrow \dfrac{{ - 3}}{4} < k < \dfrac{5}{4} \Rightarrow k \in \left\{ {0;1} \right\}\end{array}\)

Khi đó phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt là \(\dfrac{{ - \pi }}{4};\dfrac{{3\pi }}{4}\)

Bước 4:

\(\left( {2m + 1} \right)t = 2 - m\,\,\left( 1 \right)\).

+) Nếu \(m = \dfrac{{ - 1}}{2}\)

Từ \((1) \Rightarrow m = 2\left( {ktm} \right)\)

+) \(m \ne \dfrac{{ - 1}}{2} \Rightarrow t = \dfrac{{2 - m}}{{2m + 1}}\)

Để phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt thì

\(\left[ \begin{array}{l}t = \dfrac{{2 - m}}{{2m + 1}} =  - 1\\t <  - 1\\t > 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m =  - 3\\\dfrac{{m + 3}}{{2m + 1}} < 0 \Leftrightarrow  - 3 < m < \dfrac{{ - 1}}{2} \Leftrightarrow m \in \left\{ { - 2; - 1} \right\}\\\dfrac{{3m - 1}}{{2m + 1}} < 0 \Leftrightarrow \dfrac{{ - 1}}{2} < m < \dfrac{1}{3} \Leftrightarrow m = 0\end{array} \right.\)

Vậy có 4 giá trị của \(m\) thỏa mãn.