Câu hỏi:
2 năm trước
Cho Parabol \((P):y = {x^2}\) và đường thẳng \((d):y = mx + 4\) . Biết đường thẳng \((d)\) luôn cắt đồ thị \((P)\) tại hai điểm phân biệt \(A,B\) .Gọi \({x_1},{x_2}\) là hoành độ của các điểm \(A,B.\)
Tìm giá trị lớn nhất của \(Q = \dfrac{{2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 7}}{{{x_1}^2 + {x_2}^2}}\) .
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: c
Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( d \right)\) và \(\left( P \right)\) là: \({x^2} = mx + 4 \Leftrightarrow {x^2} - mx - 4 = 0\) . Ta có \(\Delta = {m^2} + 16 > 0\), với mọi \(m\) nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt, suy ra đường thẳng \(\left( d \right)\) luôn cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt. Theo định lý Viet ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m\\{x_1}.{x_2} = - 4\end{array} \right.\)
Ta có $Q = \dfrac{{2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 7}}{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}}} $\(\Rightarrow Q = \dfrac{{2m + 7}}{{{m^2} + 8}}\).
Ta xét \({m^2} + 8 - \left( {2m + 7} \right) = {m^2} - 2m + 1 = {\left( {m - 1} \right)^2} \ge 0;\,\,\,\forall m\) nên \({m^2} + 8 \ge 2m + 7 \Rightarrow Q = \dfrac{{2m + 7}}{{{m^2} + 8}} \le 1\)
Dấu “=’ xảy ra khi \({m^2} + 8 = 2m + 7 \Leftrightarrow {\left( {m - 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow m = 1\)
Suy ra giá trị lớn nhất của \(Q\) là \(1\) khi \(m = 1.\)
Hướng dẫn giải:
+ Viết phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( d \right)\) và $\left( P \right)$
+ Biến đổi \(Q = \dfrac{{2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 7}}{{{x_1}^2 + {x_2}^2}}\) để sử dụng được hệ thức Vi-et đưa về biểu thức ẩn \(m\) từ đó lập luận để đánh giá.
Câu hỏi khác
- Bài tập hàm số bậc hai một ẩn và đồ thị hàm số y=ax^2 toán 9 có lời giải
- Bài tập hệ thức vi-ét và ứng dụng toán 9 có lời giải
- Bài tập phương trình bậc hai một ẩn và công thức nghiệm toán 9 có lời giải
- Bài tập công thức nghiệm thu gọn toán 9 có lời giải
- Bài tập phương trình quy về phương trình bậc hai toán 9 có lời giải
