Cho một đa giác lồi $\left( H \right)$ có $30$ đỉnh. Chọn ngẫu nhiên $4$ đỉnh của đa giác đó. Gọi $P$ là xác suất sao cho $4$ đỉnh được chọn tạo thành một tứ giác có bốn cạnh đều là đường chéo của $\left( H \right)$. Hỏi $P$ gần với số nào nhất trong các số sau?
Trả lời bởi giáo viên
Số phần tử của không gian mẫu là \(n\left( \Omega \right) = C_{30}^4\).
Gọi \(A\): “$4$ đỉnh được chọn tạo thành một tứ giác có bốn cạnh đều là đường chéo của $\left( H \right)$”.
Để chọn ra một tứ giác thỏa mãn đề bài ta làm như sau:
Bước 1: Chọn đỉnh đầu tiên của tứ giác, có $30$ cách.
Bước 2: Chọn $3$ đỉnh còn lại sao cho hai đỉnh bất kỳ của tứ giác cách nhau ít nhất 1 đỉnh. Điều này tương đương với việc ta phải chia $m = 30$ chiếc kẹo cho $n = 4$ đứa trẻ sao cho mỗi đứa trẻ có ít nhất $k = 2$ cái, có \(C_{m - n(k - 1) - 1}^{n - 1} = C_{25}^3\) cách, nhưng làm như thế mỗi tứ giác lặp lại 4 lần.
\( \Rightarrow \) Số phần tử của biến cố \(A\) là \(n\left( A \right) = \dfrac{{30.C_{25}^3}}{4}\).
Vậy xác suất của biến cố \(A\) là \(P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \dfrac{{\dfrac{{30.C_{25}^3}}{4}}}{{C_{30}^4}} = \dfrac{{1150}}{{1827}} \approx 0,6294\).
Hướng dẫn giải:
- Tính số phần tử của không gian mẫu (số cách chọn \(4\) trong \(30\) đỉnh)
- Tính số các tứ giác thỏa mãn bài toán suy ra xác suất.