Cho $M\left( { - 1;\, - 2} \right)$, $N\left( {3;\,2} \right)$, $P\left( {4;\, - 1} \right)$. Tìm $E$ trên $Ox$ sao cho $\left| {\overrightarrow {EM}  + \overrightarrow {EN}  + \overrightarrow {EP} } \right|$ nhỏ nhất.

Cho tam giác ABC có G là trọng tâm, I là điểm thỏa mãn $\overrightarrow {AI}  =  - \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AC}$. Điểm M thỏa mãn $\overrightarrow {AM}  = x\overrightarrow {AB}$ ($x$ là số thực). Tìm $x$ để M, G, I thẳng hàng.

Cho tam giác ABC, lấy các điểm M, N trên cạnh BC sao cho BM = MN = NC. Gọi ${G_1},\,\,{G_2}$ lần lượt là trọng tâm tam giác ABN, ACM. Biết rằng $\overrightarrow {{G_1}{G_2}}$ được biểu diễn theo hai vecto $\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {AC}$ dưới dạng $\overrightarrow {{G_1}{G_2}}  = x\overrightarrow {AB}  + y\overrightarrow {AC} .$ Khi đó x + y bằng:

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho hình bình hành $ABCD$ có $A\left( {2;{\rm{ }}3} \right)$ và tâm $I\left( { - 1;{\rm{ }}1} \right)$. Biết điểm $M\left( {4;{\rm{ }}9} \right)$ nằm trên đường thẳng $AD$ và điểm $D$ có tung độ gấp đôi hoành độ. Tìm các đỉnh còn lại của hình bình hành?

Cho tứ giác $ABCD$ trên cạnh $AB$, $CD$ lần lượt lấy các điểm $M$, $N$ sao cho $3\overrightarrow {AM}  = 2\overrightarrow {AB}$ và $3\overrightarrow {DN}  = 2\overrightarrow {DC}$. Tính vectơ $\overrightarrow {MN}$ theo hai vectơ $\overrightarrow {AD}$, $\overrightarrow {BC}$.

Cho $\Delta ABC$. Gọi $M$, $N$ là các điểm thỏa mãn: $\overrightarrow {MA\,}  + \overrightarrow {MB\,}  = \overrightarrow {0\,}$, $2\overrightarrow {NA\,}  + 3\overrightarrow {NC}  = \overrightarrow {0\,}$ và $\overrightarrow {BC\,}  = k\overrightarrow {BP\,}$. Tìm $k$ để ba điểm $M$, $N$, $P$ thẳng hàng.

Cho hai véc tơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ thỏa mãn các điều kiện $\left| {\overrightarrow a } \right| = \dfrac{1}{2}\left| {\overrightarrow b } \right| = 1$,$\left| {\overrightarrow a  - 2\overrightarrow b } \right| = \sqrt {15}$. Đặt $\overrightarrow u  = \overrightarrow a  + \overrightarrow b$ và $\overrightarrow v  = 2k\overrightarrow a  - \overrightarrow b$, $k \in \mathbb{R}$. Tìm tất cả các giá trị của $k$ sao cho $\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = 60^\circ$

Cho tứ giác $ABCD$, trên cạnh $AB$, $CD$ lấy lần lượt các điểm $M$, $N$ sao cho $3\,\overrightarrow {AM}  = 2\,\overrightarrow {AB}$ và $3\,\overrightarrow{DN}  = 2\,\overrightarrow {DC}$. Tính vectơ $\overrightarrow {MN}$ theo hai vectơ $\overrightarrow {AD}$, $\overrightarrow {BC}$.