Cho khai triển \({\left( {1 + x + {x^2}} \right)^n} = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} +  \ldots  + {a_{2n}}{x^{2n}}\), với \(n \ge 2\) và \({a_0}\), \({a_1}\), \({a_2}\), ..., \({a_{2n}}\) là các hệ số. Biết rằng \(\dfrac{{{a_3}}}{{14}} = \dfrac{{{a_4}}}{{41}}\), khi đó tổng \(S = {a_0} + {a_1} + {a_2} +  \ldots  + {a_{2n}}\) bằng

Ta có \({\left( {1 + x + {x^2}} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} {\left( {x + {x^2}} \right)^k} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} \sum\limits_{l = 0}^k {C_k^l} {x^{k - l}}.{x^{2l}}\).

Hệ số của \({x^3}\) là \({x^{k + l}} = {x^3} \Rightarrow k + l = 3 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{l = 0;\,k = 3}\\{l = 1;\,k = 2}\end{array}} \right. \Rightarrow {a_3} = C_n^3C_3^0 + C_n^2C_2^1\).

Tương tự hệ số của \({x^4}\) là \({x^{k + l}} = {x^4} \Rightarrow k + l = 4 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{l = 0;\,k = 4}\\{l = 1;\,k = 3}\\{l = 2;\,k = 2}\end{array}} \right. \Rightarrow {a_4} = C_n^4C_4^0 + C_n^3C_3^1 + C_n^2C_2^2 \).

Theo giả thiết \(14{a_4} = 41{a_3} \Leftrightarrow 14\left( {C_n^4C_4^0 + C_n^3C_3^1 + C_n^2C_2^2} \right) = 41\left( {C_n^3C_3^0 + C_n^2C_2^1} \right)\)

\( \Leftrightarrow 14\left( {\dfrac{{n!}}{{4!\left( {n - 4} \right)!}} + \dfrac{{3.n!}}{{3!\left( {n - 3} \right)!}} + \dfrac{{n!}}{{2!\left( {n - 2} \right)!}}} \right) = 41\left( {\dfrac{{n!}}{{3!\left( {n - 3} \right)!}} + \dfrac{{2.n!}}{{2!\left( {n - 2} \right)!}}} \right)\)

\( \Leftrightarrow 14\left( {\dfrac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)\left( {n - 3} \right)}}{{24}} + \dfrac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)}}{2} + \dfrac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}} \right) = 41\left( {\dfrac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)}}{6} + n\left( {n - 1} \right)} \right)\)

\( \Leftrightarrow n\left( {n - 1} \right)\left( {\dfrac{{14}}{{24}}{n^2} - \dfrac{{11}}{4}n - \dfrac{{185}}{6}} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{n = 1}\\{n = 10}\end{array}} \right.\,\,\left( {n \in {\mathbb{N}^ * }} \right)\)

Do \(n \ge 2\) nên \(n = 10\).

Mặt khác thay \(x = 1\) vào hai vế của khai triển \({\left( {1 + x + {x^2}} \right)^{10}} = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} +  \ldots  + {a_{20}}{x^{20}}\) ta được \(S = {a_0} + {a_1} + {a_2} +  \ldots  + {a_{20}} = {3^{10}}\).