Cho hình thang $ABCD$ có đáy $AB = a$, $CD = 2a$. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm $AD$ và $BC$. Tính độ dài của véctơ $\overrightarrow {MN}  + \overrightarrow {BD}  + \overrightarrow {CA} $.

Cho tam giác ABC có G là trọng tâm, I là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {AI}  =  - \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AC} \). Điểm M thỏa mãn \(\overrightarrow {AM}  = x\overrightarrow {AB} \) (\(x\) là số thực). Tìm \(x\) để M, G, I thẳng hàng.

Cho tam giác ABC, lấy các điểm M, N trên cạnh BC sao cho BM = MN = NC. Gọi \({G_1},\,\,{G_2}\) lần lượt là trọng tâm tam giác ABN, ACM. Biết rằng \(\overrightarrow {{G_1}{G_2}} \) được biểu diễn theo hai vecto \(\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {AC} \) dưới dạng \(\overrightarrow {{G_1}{G_2}}  = x\overrightarrow {AB}  + y\overrightarrow {AC} .\) Khi đó x + y bằng:

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho hình bình hành $ABCD$ có $A\left( {2;{\rm{ }}3} \right)$ và tâm $I\left( { - 1;{\rm{ }}1} \right)$. Biết điểm $M\left( {4;{\rm{ }}9} \right)$ nằm trên đường thẳng $AD$ và điểm $D$ có tung độ gấp đôi hoành độ. Tìm các đỉnh còn lại của hình bình hành?

Cho tứ giác \(ABCD\) trên cạnh \(AB\), \(CD\) lần lượt lấy các điểm \(M\), \(N\) sao cho \(3\overrightarrow {AM}  = 2\overrightarrow {AB} \) và \(3\overrightarrow {DN}  = 2\overrightarrow {DC} \). Tính vectơ \(\overrightarrow {MN} \) theo hai vectơ \(\overrightarrow {AD} \), \(\overrightarrow {BC} \).

Cho \(\Delta ABC\). Gọi \(M\), \(N\) là các điểm thỏa mãn: \(\overrightarrow {MA\,}  + \overrightarrow {MB\,}  = \overrightarrow {0\,} \), \(2\overrightarrow {NA\,}  + 3\overrightarrow {NC}  = \overrightarrow {0\,} \) và \(\overrightarrow {BC\,}  = k\overrightarrow {BP\,} \). Tìm \(k\) để ba điểm \(M\), \(N\), \(P\) thẳng hàng.

Cho hai véc tơ $\overrightarrow a $ và $\overrightarrow b $ thỏa mãn các điều kiện $\left| {\overrightarrow a } \right| = \dfrac{1}{2}\left| {\overrightarrow b } \right| = 1$,$\left| {\overrightarrow a  - 2\overrightarrow b } \right| = \sqrt {15} $. Đặt $\overrightarrow u  = \overrightarrow a  + \overrightarrow b $ và $\overrightarrow v  = 2k\overrightarrow a  - \overrightarrow b $, $k \in \mathbb{R}$. Tìm tất cả các giá trị của $k$ sao cho $\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = 60^\circ $

Cho tứ giác $ABCD$, trên cạnh $AB$, $CD$ lấy lần lượt các điểm $M$, $N$ sao cho $3\,\overrightarrow {AM}  = 2\,\overrightarrow {AB} $ và $3\,\overrightarrow{DN}  = 2\,\overrightarrow {DC} $. Tính vectơ $\overrightarrow {MN} $ theo hai vectơ $\overrightarrow {AD} $, $\overrightarrow {BC} $.