Câu hỏi:
2 năm trước
Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(AB = a\), $AD = 2a$, \(AA' = a\). Gọi \(M\) là điểm trên đoạn $AD$ với \(\dfrac{{AM}}{{MD}} = 3\). Gọi \(x\) là độ dài khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AD'\), \(B'C\) và \(y\) là độ dài khoảng cách từ \(M\) đến mặt phẳng \(\left( {AB'C} \right)\). Tính giá trị \(xy\).
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: b
Ta có \(B'C\;{\rm{//}}\;A'D\)\( \Rightarrow B'C\;{\rm{//}}\;\,\left( {ADD'A'} \right) \subset AD'\)\( \Rightarrow d\left( {B'C,AD'} \right)\)\( = d\left( {C,\left( {ADD'A'} \right)} \right)\)\( = CD = a\).
Suy ra \(x = a\).
Lại có: \(\dfrac{{MA}}{{DA}} = \dfrac{3}{4}\)\( \Rightarrow d\left( {M,\left( {AB'C} \right)} \right)\)\( = \dfrac{3}{4}d\left( {D,\left( {AB'C} \right)} \right)\)\( = \dfrac{3}{4}d\left( {B;\left( {AB'C} \right)} \right)\).
Gọi \(I\) là hình chiếu vuông góc của \(B\) lên \(AC\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AC \bot BI\\AC \bot BB'\end{array} \right.\)\( \Rightarrow AC \bot \left( {BB'I} \right)\).
Gọi \(H\) là hình chiếu của \(B\) lên \(B'I\) ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}BH \bot B'I\\BH \bot AC\end{array} \right.\)\( \Rightarrow BH \bot \left( {B'AC} \right)\)\( \Rightarrow d\left( {B,\left( {AB'C} \right)} \right) = BH\).
Trong tam giác \(ABC\), ta có: \(AB.BC = AC.BI\)\( \Rightarrow BI = \dfrac{{AB.BC}}{{AC}} = \dfrac{{a.2a}}{{a\sqrt 5 }} = \dfrac{{2a\sqrt 5 }}{5}\).
Trong tam giác \(BB'I\), ta có: \(\dfrac{1}{{B{H^2}}} = \dfrac{1}{{B{I^2}}} + \dfrac{1}{{B{{B'}^2}}}\) \( \Rightarrow BH = \dfrac{{BI.BB'}}{{\sqrt {B{I^2} + B{{B'}^2}} }} = \dfrac{{2a}}{3}\)
\( \Rightarrow d\left( {B,\left( {AB'C} \right)} \right) = \dfrac{3}{4}.\dfrac{{2a}}{3} = \dfrac{a}{2}\). Suy ra \(y = \dfrac{a}{2}\)
Vậy \(x.y = \dfrac{{{a^2}}}{2}\).
Hướng dẫn giải:
Sử dụng mối quan hệ tỉ lệ giữa các khoảng cách từ các điểm đến cùng một mặt phẳng tính khoảng cách.
