Cho hàm số \(y = {x^4} - 2m{x^2} + m\), có đồ thị \(\left( C \right)\) với \(m\) là tham số thực. Gọi \(A\) là điểm thuộc đồ thị \(\left( C \right)\) có hoành độ bằng \(1\). Tìm \(m\) để tiếp tuyến \(\Delta \) với đồ thị \(\left( C \right)\) tại \(A\) cắt đường tròn \(\left( \gamma  \right):\,{x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 4\) tạo thành một dây cung có độ dài nhỏ nhất

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\). Đồ thị hàm \(y = f'\left( x \right)\) như hình vẽ

Đặt \(g\left( x \right) = 3f\left( x \right) - {x^3} + 3x - m\), với \(m\) là tham số thực. Điều kiện cần và đủ để bất phương trình \(g\left( x \right) \ge 0\) đúng với \(\forall x \in \left[ { - \sqrt 3 ;\sqrt 3 } \right]\) là:

Với mỗi số thực \(x\), gọi \(f\left( x \right)\) là giá trị nhỏ nhất trong các số \({g_1}\left( x \right) = 4x + 1\), \({g_2}\left( x \right) = x + 2\), \({g_3}\left( x \right) =  - 2x + 4\). Giá trị lớn nhất của \(f\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}\) là

Biết rằng đồ thị của hàm số \(y = P\left( x \right) = {x^3} - 2{x^2} - 5x + 2\) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt lần lượt có hoành độ là \({x_1}\), \({x_2}\), \({x_3}\). Khi đó giá trị của biểu thức \(T = \dfrac{1}{{x_1^2 - 4{x_1} + 3}} + \dfrac{1}{{x_2^2 - 4{x_2} + 3}} + \dfrac{1}{{x_3^2 - 4{x_3} + 3}}\) bằng

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau.

Đồ thị hàm số \(y = \left| {f\left( {x - 2017} \right) + 2018} \right|\) có bao nhiêu điểm cực trị?

Cô An đang ở khách sạn \(A\) bên bờ biển, cô cần đi du lịch đến hòn đảo \(C\). Biết rằng khoảng cách từ đảo \(C\) đến bờ biển là \(10\;{\rm{km}}\), khoảng cách từ khách sạn \(A\) đến điểm \(B\) trên bờ gần đảo \(C\) nhất là \(50\;{\rm{km}}\). Từ khách sạn \(A\), cô An có thể đi đường thủy hoặc đi đường bộ rồi đi đường thủy để đến hòn đảo \(C\) (như hình vẽ bên). Biết rằng chi phí đi đường thủy là \(5\) USD/km, chi phí đi đường bộ là \(3\)USD/km. Hỏi cô An phải đi đường bộ một khoảng bao nhiêu km để chi phí là nhỏ nhất.

Tìm tập hợp $S$ tất cả các giá trị của tham số thực $m$ để đồ thị hàm số $y = {x^4} - 2{m^2}{x^2} + {m^4} + 3$ có ba điểm cực trị đồng thời ba điểm cực trị đó cùng với gốc tọa độ $O$ tạo thành một tứ giác nội tiếp.

Ông Bình đặt thợ làm một bể cá, nguyên liệu bằng kính trong suốt, không có nắp đậy dạng hình hộp chữ nhật có thể tích chứa được \(220500\,\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\) nước. Biết tỉ lệ giữa chiều cao và chiều rộng của bể bằng \(3\). Xác định diện tích đáy của bể cá để tiết kiệm nguyên vật liệu nhất.