Ông Bình đặt thợ làm một bể cá, nguyên liệu bằng kính trong suốt, không có nắp đậy dạng hình hộp chữ nhật có thể tích chứa được $220500\,\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}$ nước. Biết tỉ lệ giữa chiều cao và chiều rộng của bể bằng $3$. Xác định diện tích đáy của bể cá để tiết kiệm nguyên vật liệu nhất.

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$. Đồ thị hàm $y = f'\left( x \right)$ như hình vẽ

Đặt $g\left( x \right) = 3f\left( x \right) - {x^3} + 3x - m$, với $m$ là tham số thực. Điều kiện cần và đủ để bất phương trình $g\left( x \right) \ge 0$ đúng với $\forall x \in \left[ { - \sqrt 3 ;\sqrt 3 } \right]$ là:

Với mỗi số thực $x$, gọi $f\left( x \right)$ là giá trị nhỏ nhất trong các số ${g_1}\left( x \right) = 4x + 1$, ${g_2}\left( x \right) = x + 2$, ${g_3}\left( x \right) =  - 2x + 4$. Giá trị lớn nhất của $f\left( x \right)$ trên $\mathbb{R}$ là

Biết rằng đồ thị của hàm số $y = P\left( x \right) = {x^3} - 2{x^2} - 5x + 2$ cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt lần lượt có hoành độ là ${x_1}$, ${x_2}$, ${x_3}$. Khi đó giá trị của biểu thức $T = \dfrac{1}{{x_1^2 - 4{x_1} + 3}} + \dfrac{1}{{x_2^2 - 4{x_2} + 3}} + \dfrac{1}{{x_3^2 - 4{x_3} + 3}}$ bằng

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau.

Đồ thị hàm số $y = \left| {f\left( {x - 2017} \right) + 2018} \right|$ có bao nhiêu điểm cực trị?

Cô An đang ở khách sạn $A$ bên bờ biển, cô cần đi du lịch đến hòn đảo $C$. Biết rằng khoảng cách từ đảo $C$ đến bờ biển là $10\;{\rm{km}}$, khoảng cách từ khách sạn $A$ đến điểm $B$ trên bờ gần đảo $C$ nhất là $50\;{\rm{km}}$. Từ khách sạn $A$, cô An có thể đi đường thủy hoặc đi đường bộ rồi đi đường thủy để đến hòn đảo $C$ (như hình vẽ bên). Biết rằng chi phí đi đường thủy là $5$ USD/km, chi phí đi đường bộ là $3$USD/km. Hỏi cô An phải đi đường bộ một khoảng bao nhiêu km để chi phí là nhỏ nhất.

Tìm tập hợp $S$ tất cả các giá trị của tham số thực $m$ để đồ thị hàm số $y = {x^4} - 2{m^2}{x^2} + {m^4} + 3$ có ba điểm cực trị đồng thời ba điểm cực trị đó cùng với gốc tọa độ $O$ tạo thành một tứ giác nội tiếp.