Biết rằng đồ thị của hàm số \(y = P\left( x \right) = {x^3} - 2{x^2} - 5x + 2\) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt lần lượt có hoành độ là \({x_1}\), \({x_2}\), \({x_3}\). Khi đó giá trị của biểu thức \(T = \dfrac{1}{{x_1^2 - 4{x_1} + 3}} + \dfrac{1}{{x_2^2 - 4{x_2} + 3}} + \dfrac{1}{{x_3^2 - 4{x_3} + 3}}\) bằng
Trả lời bởi giáo viên
Xét biểu thức chia \(P\left( x \right)\) cho \({x^2} - 4x + 3\) ta được \(P\left( x \right) = \left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 4x + 3} \right) - 4\)
Mà $P\left( {{x_1}} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {{x_1} + 2} \right)\left( {x_1^2 - 4{x_1} + 3} \right) - 4 = 0 \Leftrightarrow \dfrac{1}{{x_1^2 - 4{x_1} + 3}} = \dfrac{{{x_1} + 2}}{4}$
Tương tự, ta có $\dfrac{1}{{x_2^2 - 4{x_2} + 3}} = \dfrac{{{x_2} + 2}}{4}$; $\dfrac{1}{{x_3^2 - 4{x_3} + 3}} = \dfrac{{{x_3} + 2}}{4}$
Vậy \(T = \dfrac{{{x_1} + 2}}{4} + \dfrac{{{x_2} + 2}}{4} + \dfrac{{{x_3} + 2}}{4} = \dfrac{{{x_1} + {x_2} + {x_3} + 6}}{4} = 2\)
Mặt khác thì $\dfrac{{P'\left( x \right)}}{{P\left( x \right)}} = \dfrac{{3{x^2} - 4x - 5}}{{{x^3} - 2{x^2} - 5x + 2}} \Rightarrow \dfrac{{P'\left( 1 \right)}}{{P\left( 1 \right)}} = \dfrac{3}{2};\dfrac{{P'\left( 3 \right)}}{{P\left( 3 \right)}} = - \dfrac{5}{2} \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\left[ {\dfrac{{P'\left( 1 \right)}}{{P\left( 1 \right)}} - \dfrac{{P'\left( 3 \right)}}{{P\left( 3 \right)}}} \right] = 2$
Hướng dẫn giải:
- Chia \(P\left( x \right)\) cho \({x^2} - 4x + 3\)
- Dùng giả thiết \(P\left( {{x_1}} \right) = P\left( {{x_2}} \right) = P\left( {{x_3}} \right) = 0\) suy ra giá trị các biểu thức $\dfrac{1}{{x_1^2 - 4{x_1} + 3}};$ $\dfrac{1}{{x_2^2 - 4{x_2} + 3}};$ $\dfrac{1}{{x_3^2 - 4{x_3} + 3}}$
- Thay vào biểu thức cần tính giá trị và sử dụng định lý Vi – ét cho phương trình bậc ba \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} + {x_3} = - \dfrac{b}{a}\\{x_1}{x_2} + {x_2}{x_3} + {x_3}{x_1} = \dfrac{c}{a}\\{x_1}{x_2}{x_3} = - \dfrac{d}{a}\end{array} \right.\) để tính giá trị biểu thức đó.
- Tính \(\dfrac{{P'\left( x \right)}}{{P\left( x \right)}}\) rồi tính giá trị từng đáp án và so sánh kết quả.