Câu hỏi:
2 năm trước
Cho hàm số \(y = {x^3} - m{x^2} - mx + 2m - 3\) có đồ thị là \(\left( C \right)\), với \(m\) là tham số thực. Gọi \(T\) là tập tất cả các giá trị nguyên của \(m\) để mọi đường thẳng tiếp xúc với \(\left( C \right)\) đều có hệ số góc dương. Tính tổng các phần tử của \(T\).
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: d
Ta có: \(y' = 3{x^2} - 2mx - m\). Gọi \(M\left( {{x_0};\,{y_0}} \right) \in \left( C \right)\) suy ra hệ số góc của tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \(M\) có hệ số góc là \(k = y'\left( {{x_0}} \right) = 3x_0^2 - 2m{x_0} - m\)\( = 3{\left( {{x_0} - \dfrac{m}{3}} \right)^2} - \left( {\dfrac{{{m^2}}}{3} + m} \right)\)\( \ge - \left( {\dfrac{{{m^2} + 3m}}{3}} \right)\).
Để mọi đường thẳng tiếp xúc với \(\left( C \right)\) đều có hệ số góc dương thì :
\( - \left( {\dfrac{{{m^2} + 3m}}{3}} \right) > 0\)\( \Leftrightarrow \left( {\dfrac{{{m^2} + 3m}}{3}} \right) < 0\)\( \Leftrightarrow - 3 < m < 0\).
\( \Rightarrow \) Tập các giá trị nguyên của \(m\)là: \(T = \left\{ { - 2;\, - 1} \right\}\). Vậy tổng các phần tử của \(T\) là: \( - 3\).
Hướng dẫn giải:
- Tìm hệ số góc của tiếp tuyến với \(\left( C \right)\) tại điểm \(M\left( {{x_0};\,{y_0}} \right) \in \left( C \right)\)
- Đánh giá hệ số góc rồi tìm \(m\) để hệ số góc luôn dương.
