Cho hàm số \(y = {x^3} - 3x\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Gọi \(S\) là tập hợp tất cả giá trị thực của \(k\) để đường thẳng \(d:y = k\left( {x + 1} \right) + 2\) cắt đồ thị \(\left( C \right)\) tại ba điểm phân biệt \(M,\)\(N,\)\(P\) sao cho các tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \(N\) và \(P\) vuông góc với nhau. Biết \(M\left( { - 1;2} \right)\), tính tích tất cả các phần tử của tập \(S\).

Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( C \right)\) và \(d\):

\({x^3} - 3x = k\left( {x + 1} \right) + 2\)\( \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x - 2 - k} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1 \Rightarrow y = 2\\{x^2} - x - 2 - k = 0\left( 1 \right)\end{array} \right.\).

\(d\) cắt \(\left( C \right)\) tại ba điểm phân biệt \( \Leftrightarrow \)phương trình \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt khác \( - 1\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\Delta _{\left( 1 \right)}} > 0\\g\left( { - 1} \right) \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k >  - \dfrac{9}{4}\\k \ne 0\end{array} \right.\).

Khi đó, \(d\) cắt \(\left( C \right)\) tại \(M\left( { - 1;2} \right)\), \(N\left( {{x_1};{y_1}} \right)\), \(P\left( {{x_2};{y_2}} \right)\) với \({x_1},{x_2}\) là nghiệm của \(\left( 1 \right)\).

Theo định lý vietè: \(\left\{ \begin{array}{l}S = {x_1} + {x_2} = 1\\P = {x_1}{x_2} =  - k - 2\end{array} \right.\).

Tiếp tuyến tại \(N\) và \(P\) vuông góc với nhau \( \Leftrightarrow y'\left( {{x_1}} \right).y'\left( {{x_2}} \right) =  - 1\)\( \Leftrightarrow \left( {3x_1^2 - 3} \right)\left( {3x_2^2 - 3} \right) =  - 1\)

\( \Leftrightarrow 9x_1^2x_1^2 - 9\left( {x_1^2 + x_2^2} \right) + 9 =  - 1 \Leftrightarrow 9{P^2} + 18P - 9{S^2} + 9 =  - 1\)

\( \Leftrightarrow 9{k^2} + 18k + 1 = 0 \Leftrightarrow k = \dfrac{{ - 3 \pm 2\sqrt 3 }}{3}\).

Vậy tích các phần tử trong \(S\) là \(\dfrac{1}{9}\).