Cho hàm số \(y = {x^3} - 3x + 2\) có đồ thị \((C)\). Hỏi có bao nhiêu điểm trên đường thẳng \(y = 9x - 14\) sao cho từ đó kẻ được hai tiếp tuyến đến \((C)\) ?

Bước 1: Tham số hóa điểm M. Gọi \(\Delta \) là đường thẳng đi qua \(M\) và có hệ số góc k.

Gọi M là một điểm thuộc d \( \Rightarrow M(a;9a - 14)\).

Gọi \(\Delta \) là đường thẳng đi qua \(M\) và có hệ số góc \(k\)\( \Rightarrow \) \(\Delta :y = k(x - a) + 9a - 14\).

Bước 2: Lập hệ từ điều kiện \(\Delta \) tiếp xúc \((C)\) và giải.

\(\Delta \) tiếp xúc \((C)\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{k = 3{x^2} - 3(1)}\\{{x^3} - 3x + 2 = k(x - a) + 9a - 14(2)}\end{array}} \right.\)

Thay (1) vào (2) ta có:

\({x^3} - 3x + 2\)\( = \left( {3{x^2} - 3} \right)(x - a) + 9a - 14\)

\( \Leftrightarrow 2{x^3} - 3a{x^2} + 12a - 16 = 0\)

\( \Leftrightarrow (x - 2)\)\(\left[ {2{x^2} + (4 - 3a)x + 8 - 6a} \right] = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{2{x^2} + (4 - 3a)x + 8 - 6a = 0(3)}\end{array}} \right.\)

Bước 3: Lập luận để từ \(M\) kẻ được hai tiếp tuyến

Để từ \(M\) kẻ được hai tiếp tuyến thì (3) phải có nghiệm kép khác 2 hoặc (3) phải có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm \(x = 2\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\Delta _{(3)}} = 9{a^2} + 24a - 48 = 0}\\{8 + (4 - 3a)2 + 8 - 6a \ne 0}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\Delta _{(3)}} = 9{a^2} + 24a - 48 > 0}\\{8 + (4 - 3a)2 + 8 - 6a = 0}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left[ \begin{array}{l}a = \dfrac{4}{3}\\a =  - 4\end{array} \right.}\\{a \ne 2}\end{array}} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a <  - 4 \cup a > \dfrac{4}{3}\\a = 2\end{array} \right.\end{array}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = \dfrac{4}{3}}\\{a =  - 4}\\{a = 2}\end{array}} \right.\)

Vậy có ba điểm thỏa mãn bài toán.