Cho hàm số \(y = {x^3} - 3x + 2\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Hỏi có bao nhiêu điểm trên đường thẳng $d:y = 9x - 14$ sao cho từ đó kẻ được hai tiếp tuyến với \(\left( C \right)\).

Ta có \(y = {x^3} - 3x + 2\)\( \Rightarrow y' = 3{x^2} - 3\).

Gọi \({x_0}\) là hoành độ tiếp điểm, phương trình tiếp tuyến có dạng

$y = \left( {3x_0^2 - 3} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + x_0^3 - 3{x_0} + 2$

Gọi \(M\left( {m;9m - 14} \right)\) là điểm nằm trên đường thẳng $d:y = 9x - 14$.

Tiếp tuyến đi qua điểm \(M\) khi và chỉ khi $9m - 14 = \left( {3x_0^2 - 3} \right)\left( {m - {x_0}} \right) + x_0^3 - 3{x_0} + 2\,\,\,\left( 1 \right)$

$ \Leftrightarrow \left( {{x_0} - 2} \right)\left[ {2x_0^2 - \left( {3m - 4} \right){x_0} + 8 - 6m} \right] = 0$ $ \Leftrightarrow \left( {{x_0} - 2} \right)\left[ {2x_0^2 - \left( {3m - 4} \right){x_0} + 8 - 6m} \right] = 0$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 2\\2x_0^2 - \left( {3m - 4} \right){x_0} + 8 - 6m = 0 = g\left( {{x_0}} \right)\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.$

Yêu cầu đề bài $ \Leftrightarrow $$\left( 2 \right)$ có hai nghiệm phân biệt có một nghiệm bằng $2$ hoặc $\left( 2 \right)$ có nghiệm kép khác $2$

$ \Leftrightarrow $$\left\{ \begin{array}{l}\Delta  > 0\\g\left( 2 \right) = 0\end{array} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{array}{l}\Delta  = 0\\g\left( 2 \right) \ne 0\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow $$\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}9{m^2} + 24m - 48 > 0\\ - 12m + 24 = 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}9{m^2} + 24m - 48 = 0\\ - 12m + 24 \ne 0\end{array} \right.\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2\\m = \dfrac{4}{3}\\m =  - 4\end{array} \right.$.

Vậy có $3$ điểm $M$ thỏa đề bài.