Cho hàm số $y = {\left| x \right|^3} - 3{x^2} + 1$ có đồ thị $\left( C \right)$. Hỏi trên trục $Oy$ có bao nhiêu điểm $A$ mà qua $A$ có thể kẻ đến $\left( C \right)$ đúng ba tiếp tuyến?

Vì hàm số đã cho là hàm số chẵn nên đồ thị $\left( C \right)$ của nó đối xứng qua $Oy$. Do đó từ điểm $A$ trên trục $Oy$ nếu kẻ được một tiếp tuyến $d$ đến $\left( C \right)$ thì ảnh của $d$ qua phép đối xứng trục $Oy$ cũng là một tiếp tuyến của $\left( C \right)$.

Vậy để qua điểm $A$ trên trục $Oy$ có thể kẻ đến $\left( C \right)$ đúng ba tiếp tuyến thì điều kiện cần và đủ là có một tiếp tuyến vuông góc với trục tung và một tiếp tuyến với nhánh phải của đồ thị $\left( C \right)$, tức là phần đồ thị của hàm số $y = f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 1$, với $x \ge 0$.

Gọi $M\left( {0;m} \right)$ thuộc $Oy$ và $\left( \Delta  \right)$ là tiếp tuyến qua $M\left( {0;m} \right)$ có hệ số góc $k$. Ta có: $\left( \Delta  \right):y = kx + m$.

Điều kiện tiếp xúc là: $\left\{ \begin{array}{l}{x^3} - 3{x^2} + 1 = kx + m\\3{x^2} - 6x = k\end{array} \right.$

Suy ra: ${x^3} - 3{x^2} + 1 = x\left( {3{x^2} - 6x} \right) + m$$ \Leftrightarrow m =  - 2{x^3} + 3{x^2} + 1$  $\left( * \right)$

Yêu cầu đề bài tương đương phương trình $\left( * \right)$ có đúng một nghiệm $x = 0$ và một nghiệm $x > 0$.

Phương trình $\left( * \right)$ có nghiệm $x = 0$ nên $m = 1$.

Thử lại, với $m = 1$ thì $\left( * \right)$ trở thành: $ - 2{x^3} + 3{x^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \dfrac{3}{2}\end{array} \right.$ (đúng).

Vậy $m = 1$.