Cho hàm số $y = \dfrac{{x + 2}}{{x - 1}}$ có đồ thị $\left( C \right)$ và điểm $A\left( {0;\,a} \right)$. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của $a$ trong đoạn $\left[ { - 2018;\,2018} \right]$ để từ điểm $A$ kẻ được hai tiếp tuyến đến $\left( C \right)$ sao cho hai tiếp điểm nằm về hai phía của trục hoành?

Đường thẳng $d$ đi qua điểm $A\left( {0;\,a} \right)$, hệ số góc $k$ có phương trình: $y = kx + a$.

Để $d$ là tiếp tuyến của $\left( C \right)$ thì hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{x + 2}}{{x - 1}} = kx + a{\rm{   }}\left( * \right)\\\dfrac{{ - 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = k{\rm{         }}\left( {**} \right)\end{array} \right.$ có nghiệm.

Thay (**) vào (*) ta được: $\dfrac{{x + 2}}{{x - 1}} = \dfrac{{ - 3x}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} + a$

$ \Leftrightarrow \left( {a - 1} \right){x^2} - 2\left( {a + 2} \right)x + a + 2 = 0$ với \(x \ne 1\). $\left( 1 \right)$

Do từ $A$ kẻ được hai tiếp tuyến đến $\left( C \right)$ nên phương trình $\left( 1 \right)$ có hai nghiệm phân biệt khác $1$.

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ne 1\\\Delta ' = 3\left( {a + 2} \right) > 0\\a - 1 - 2\left( {a + 2} \right) + a + 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a >  - 2\\a \ne 1\end{array} \right.$. $\left( 2 \right)$

Khi đó toạ độ hai tiếp điểm là $M\left( {{x_1};\,\dfrac{{{x_1} + 2}}{{{x_1} - 1}}} \right)$ và $N\left( {{x_2};\,\dfrac{{{x_2} + 2}}{{{x_2} - 1}}} \right)$ với ${x_1}$, ${x_2}$ là nghiệm của $\left( 1 \right)$ do đó ${x_1} + {x_2} = \dfrac{{2\left( {a + 2} \right)}}{{a - 1}}$, ${x_1}{x_2} = \dfrac{{a + 2}}{{a - 1}}$.

Hai tiếp điểm nằm về hai phía của trục hoành khi

$\dfrac{{{x_1} + 2}}{{{x_1} - 1}}.\dfrac{{{x_2} + 2}}{{{x_2} - 1}} < 0$$ \Leftrightarrow \dfrac{{{x_1}{x_2} + 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 4}}{{{x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1}} < 0$ $ \Leftrightarrow \dfrac{{9a + 6}}{{ - 3}} < 0 \Leftrightarrow a >  - \dfrac{2}{3}$.

Kết hợp điều kiện $\left( 2 \right)$ suy ra $\left\{ \begin{array}{l}a >  - \dfrac{2}{3}\\a \ne 1\end{array} \right.$ nên trên đoạn $\left[ { - 2018;\,2018} \right]$ số giá trị nguyên của $a$ thỏa yêu cầu bài toán là $2018$.