Cho hàm số $y = \sqrt {{x^2} - 2x + 3} $ có đồ thị $\left( C \right)$ và điểm $A\left( {1;a} \right)$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của $a$ để có đúng hai tiếp tuyến của $\left( C \right)$ đi qua $A$?

Gọi $M\left( {{x_0};\sqrt {x_0^2 - 2{x_0} + 3} } \right)$ là tiếp điểm.

Phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại $M$ có dạng là $y - \sqrt {x_0^2 - 2{x_0} + 3}  = \dfrac{{{x_0} - 1}}{{\sqrt {x_0^2 - 2{x_0} + 3} }}\left( {x - {x_0}} \right)$$ \Leftrightarrow y = \dfrac{{{x_0} - 1}}{{\sqrt {x_0^2 - 2{x_0} + 3} }} \cdot x + \dfrac{{3 - {x_0}}}{{\sqrt {x_0^2 - 2{x_0} + 3} }}$.

Vì tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại $M$ đi qua điểm $A\left( {1;a} \right)$ nên ta có:

$a = \dfrac{{{x_0} - 1}}{{\sqrt {x_0^2 - 2{x_0} + 3} }} + \dfrac{{3 - {x_0}}}{{\sqrt {x_0^2 - 2{x_0} + 3} }} = \dfrac{2}{{\sqrt {x_0^2 - 2{x_0} + 3} }} \Leftrightarrow a\sqrt {x_0^2 - 2{x_0} + 3}  = 2$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\{a^2}\left( {x_0^2 - 2{x_0} + 3} \right) = 4\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\{a^2}x_0^2 - 2a^2{x_0} + 3{a^2} - 4 = 0\left(  *  \right)\end{array} \right.$.

Vì qua $A$ kẻ được đúng hai tiếp tuyến đến $\left( C \right)$ nên $\left(  *  \right)$ phải có hai nghiệm phân biệt

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a > 0}\\{\Delta ' =  - 2{a^4} + 4{a^2} > 0}\end{array}} \right.\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a > 0}\\{0 < {a^2} < 2}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a > 0}\\{ - \sqrt 2  < a < \sqrt 2 }\end{array}} \right. \Leftrightarrow 0 < a < \sqrt 2 \end{array}\)

Vì $a \in \mathbb{Z}$ nên $a = 1$.