Cho hàm số \(y = x + \dfrac{1}{{x - 1}}\) xác định trên \(\left( {1; + \infty } \right)\). Gọi $m$ là giá trị nhỏ nhất của hàm số, giá trị của $m$ nằm trong khoảng nào sau đây?
Trả lời bởi giáo viên
\(x - 1 + \dfrac{1}{{x - 1}} \ge 2\), \(\forall x \in \left( {1;\, + \infty } \right)\)\( \Leftrightarrow x + \dfrac{1}{{x - 1}} \ge 3\), \(\forall x \in \left( {1;\, + \infty } \right)\).
Dấu xảy ra khi \(x - 1 = \dfrac{1}{{x - 1}}\)\( \Leftrightarrow {x^2} - 2x = 0\)\( \Leftrightarrow x = 2\), \(\forall x \in \left( {1;\, + \infty } \right)\).
Vậy \(m = \mathop {\min y}\limits_{\left( {1; + \infty } \right)} = 3\).
Hướng dẫn giải:
Sử dụng bất đẳng thức cô – si đánh giá \(y\) tìm GTNN và kết luận.
Bất đẳng thức cô - si: Cho hai số dương \(a,b\) ta có: \(a + b \ge 2\sqrt {ab} \)