Câu hỏi:
2 năm trước
Cho hàm số \(y = {\sin ^2}x\). Tính \({y^{\left( {2018} \right)}}\left( \pi \right)\).
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: a
Ta có \(y = {\sin ^2}x = \dfrac{{1 - {\rm{cos}}2x}}{2}\).
Khi đó \(y' = \sin 2x\) ; \(y'' = 2.c{\rm{os}}2x = 2.{\rm{sin}}\left( {2x + \dfrac{\pi }{2}} \right)\) ; \(y''' = - {2^2}.{\rm{sin}}2x = {2^2}.{\rm{sin}}\left( {2x + \pi } \right)\)…
\({y^{\left( n \right)}} = {2^{n - 1}}\sin \left[ {2x + \dfrac{{\left( {n - 1} \right)\pi }}{2}} \right]\).
Vậy \({y^{\left( {2018} \right)}(\pi )} = {2^{2017}}.\sin \left( {2.\pi + \dfrac{{2017\pi }}{2}} \right) \) \(= {2^{2017}}.\sin \left( {1010\pi + \dfrac{\pi }{2}} \right) = {2^{2017}}\)
Hướng dẫn giải:
- Hạ bậc đưa về hàm số lượng giác cơ bản.
- Đạo hàm lần lượt từ cấp \(1,2,...\) suy ra công thức đạo hàm cấp \(2018\) cần tìm.
