Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a{x^2} + bx + 1}&{khi}&{x \ge 0}\\{ax - b - 1}&{khi}&{x < 0}\end{array}} \right.\). Khi hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm tại \({x_0} = 0\), hãy tính \(T = a + 2b\).

Ta có \(f\left( 0 \right) = 1\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right)\) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {a{x^2} + bx + 1} \right)\) \( = 1\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right)\) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {ax - b - 1} \right)\) \( =  - b - 1\).

Để hàm số có đạo hàm tại \({x_0} = 0\) thì hàm số phải liên tục tại \({x_0} = 0\) nên

\(f\left( 0 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right)\). Suy ra \( - b - 1 = 1\)\( \Leftrightarrow b =  - 2\).

Khi đó \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}a{x^2} - 2x + 1,x \ge 0\\ax + 1,x < 0\end{array} \right.\).

Xét:

+) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{x}\) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{a{x^2} - 2x + 1 - 1}}{x}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {ax - 2} \right)\)\( =  - 2\).

+) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{x}\) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{{ax + 1 - 1}}{x}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( a \right)\) \( = a\).

Hàm số có đạo hàm tại \({x_0} = 0\)thì \(a =  - 2\).

Vậy với \(a =  - 2\),\(b =  - 2\) thì hàm số có đạo hàm tại \({x_0} = 0\) khi đó \(T =  - 6\).