Cho hai số thực dương \(x,{\rm{ }}y\) thỏa mãn \(x + y + xy \ge 7\). Giá trị nhỏ nhất của \(S = x + 2y\) là:

Ta có: \(x + y + xy \ge 7\)\( \Leftrightarrow x\left( {1 + y} \right) \ge 7 - y\) \( \Leftrightarrow x \ge \dfrac{{7 - y}}{{1 + y}}\) (vì \(y > 0 \Rightarrow 1 + y > 0\))

Do đó \(S = x + 2y\)\( \ge \dfrac{{7 - y}}{{1 + y}} + 2y = 2y - 1 + \dfrac{8}{{y + 1}}\) \( = 2\left( {y + 1} \right) + \dfrac{8}{{y + 1}} - 3\).

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số không âm \(2\left( {y + 1} \right)\) và \(\dfrac{8}{{y + 1}}\) ta có:

\(2\left( {y + 1} \right) + \dfrac{8}{{y + 1}} - 3 \ge 2\sqrt {2\left( {y + 1} \right).\dfrac{8}{{y + 1}}}  - 3 = 5\) hay \(S \ge 5\).

Dấu bằng xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}2\left( {y + 1} \right) = \dfrac{8}{{y + 1}}\\x = \dfrac{{7 - y}}{{1 + y}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 1\\x = 3\end{array} \right.\).

Vậy \({S_{\min }} = 5\) khi \(x = 3,y = 1\).